SMF

Problème local de relèvement de l'action d'un groupe fini sur une courbe

The local lifting problem for actions of finite groups on curves

Ted Chinburg, Robert Guralnick, David Harbater
Problème local de relèvement de l'action d'un groupe fini sur une courbe
  • Année : 2011
  • Fascicule : 4
  • Tome : 44
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 12F10, 14H37, 20B25; 13B05, 11S15, 14H30
  • Pages : 537-605
  • DOI : 10.24033/asens.2150
Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique $p>0$. Nous étudions les obstructions au relèvement en caractéristique 0 d'une action fidèle et continue $\phi $ d'un groupe fini $G$ sur $k[[t]]$. Le théorème de Katz-Gabber associe à $\phi $ une action du groupe $G$ sur une courbe projective $Y$ lisse sur $k$. La KGB-obstruction de $\phi $ est dite nulle si $G$ agit sur une courbe projective lisse $X$ de caractéristique 0 avec égalité des genres de $X/H$ et $Y/H$ pour tout sous-groupe $H\subset G$. Nous déterminons les groupes $G$ pour lesquels la KGB-obstruction s'annule pour toute action $\phi $. Nous considérons également des situations analogues pour lesquelles il suffit d'annuler l'obstruction de Bertin à relever une action $\phi $ ou toutes actions $\phi $ suffisamment ramifiées. Ces résultats renforcent les convictions en faveur de la conjecture de Oort généralisée aux relèvements d'une action fidèle sur une courbe projective lisse ([8], Conj. 1.2).
Let $k$ be an algebraically closed field of characteristic $p > 0$. We study obstructions to lifting to characteristic $0$ the faithful continuous action $\phi $ of a finite group $G$ on $k[[t]]$. To each such $\phi $ a theorem of Katz and Gabber associates an action of $G$ on a smooth projective curve $Y$ over $k$. We say that the KGB obstruction of $\phi $ vanishes if $G$ acts on a smooth projective curve $X$ in characteristic $0$ in such a way that $X/H$ and $Y/H$ have the same genus for all subgroups $H \subset G$. We determine for which $G$ the KGB obstruction of every $\phi $ vanishes. We also consider analogous problems in which one requires only that an obstruction to lifting $\phi $ due to Bertin vanishes for some $\phi $, or for all sufficiently ramified $\phi $. These results provide evidence for the strengthening of Oort's lifting conjecture which is discussed in [?]Conj. 1.2]CGH.
Groupes de Galois, courbes, automorphismes, caractéristique $p$, relèvement, conjecture de Oort
Galois groups, curves, automorphisms, characteristic $p$, lifting, Oort Conjecture.
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