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Comptage des formes cuspidales par conducteur analytique

Counting cusp forms by analytic conductor

Farrell BRUMLEY, Djordje MILIĆEVIĆ
Comptage des formes cuspidales par conducteur analytique
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  • Année : 2024
  • Fascicule : 5
  • Tome : 57
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F72; 11F66, 11F70, 22E55, 58J50
  • Pages : 1473-1597
  • DOI : 10.24033/asens.2595

Soient $F$ un corps de nombres et $n\geqslant 1$ un entier. La famille universelle $\mathfrak{F}$ est l'ensemble de toutes les représentations cuspidales unitaires automorphes de ${\rm GL}_n$ sur $F$, muni de l'ordre induit par le conducteur analytique. Nous obtenons un équivalent asymptotique pour le cardinal de la famille universelle tronquée $\mathfrak{F}(Q)$ lorsque $Q\rightarrow \infty$, sous une hypothèse de sphéricité aux places archimédiennes si $n\geqslant 3$. Nous interprétons géométriquement le terme dominant and déterminons conjecturalement la mesure de Sato-Tate sous-jacente. Nos méthodes fournissent une loi de Weyl uniforme avec un gain logarithmique dans le niveau et des bornes quantitatives fortes sur le specter discret non tempéré pour ${\rm GL}_n$.

Let $F$ be a number field and $n\geqslant 1$ an integer. The universal family is the set $\mathfrak{F}$ of all unitary cuspidal automorphic representations on ${\rm GL}_n$ over $F$, ordered by their analytic conductor. We prove an asymptotic for the size of the truncated universal family $\mathfrak{F}(Q)$ as $Q\rightarrow\infty$, under a spherical assumption at the archimedean places when $n\geqslant 3$. We interpret the leading term constant geometrically and conjecturally determine the underlying Sato-Tate measure. Our methods naturally provide uniform Weyl laws with logarithmic savings in the level and strong quantitative bounds on the non-tempered discrete spectrum for ${\rm GL}_n$.

Représentations automorphes, conducteur analytique, familles de formes automorphes, formule des traces, mesure de Plancherel, loi de Weyl
Automorphic representations, analytic conductor, families of automorphic forms, trace formula, Plancherel measure, Weyl law

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