Nous prouvons plusieurs résultats de rigidité pour les $C∗$-algèbres de couronnes et les restes de Čech-Stone sous l'hypothèse des axiomes du forcing. En particulier, nous prouvons qu'une version forte de l'axiome du coloration ouvert de Todorčević et l'axiome de Martin au niveau $\aleph_1$ impliquent : (i) que si $X$ et $Y$ sont des espaces topologiques localement compacts et à base dénombrable, alors tous les homéomorphismes entre $\beta X \setminus X$ et $\beta Y \setminus Y$ sont induits par des homéomorphismes entre sous-espaces cocompacts de $X$ et $Y$ ; (ii) que tous les automorphismes des $C∗$-algèbres de couronne séparables sont triviaux en un sens topologique ; (iii) que si $A$ est une $C∗$-algèbre de dimension infinie unitaire et séparable, l'algèbre couronne de $A\otimes \mathcal K(H)$ ne se plonge pas dans l'algèbre de Calkin. Tous ces résultats sont en défaut sous l'hypothèse du continu.