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Construction de bons quotients par des plongements dans des variétés toriques

Producing good quotients by embedding into toric varieties

Jürgen Hausen
Construction de bons quotients par des plongements dans des variétés toriques
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  • Année : 2002
  • Tome : 6
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14E25,14L30,14M25
  • Pages : 193-212
Soit $T$ un tore algébrique opérant de façon effective dans une variété algébrique $\mathbb Q$-factorielle $X$. Supposons que $X$ vérifie la propriété $A_2$, c'est–à–dire : deux points quelconques de $X$ ont un voisinage affine commun dans $X$. Nous démontrons le théorème de plongement suivant : Soient $U_{1}, \ldots , U_{r} \subset X$ des ouverts invariants par $T$ admettant de bons quotients $U_{i} \to U_{i} /\!\!/ T$ tels que les $U_{i} /\!\!/ T$ vérifient la propriété $A_2$. Alors il existe un plongement fermé $T$–équivariant $X \hookrightarrow Z$ dans une variété torique $Z$ où $T$ opère comme sous–tore du grand tore, tel que chaque $U_i$ est de la forme $U_{i} = W_{i} \cap X$ pour un ouvert torique $W_i\subset Z$ admettant un bon quotient $W_{i} \to W_{i} /\!\!/ T$. Ce résultat s'applique en particulier à la famille des ouverts $U \subset X$ qui sont maximaux pour l'inclusion saturée parmi tous les ouverts admettant un bon quotient qui vérifie $A_2$. Dans l'appendice à cet article, nous présentons des résultats généraux sur les plongements dans les variétés et les prévariétés toriques.
Let an algebraic torus $T$ act effectively on a $\mathbb Q$-factorial algebraic variety $X$. Suppose that $X$ has the $A_{2}$-property, that means any two points of $X$ admit a common affine open neighbourhood in $X$. We prove the following embedding theorem : Let $U_{1}, \ldots , U_{r} \subset X$ be $T$-invariant open subsets with good quotients $U_{i} \to U_{i} /\!\!/ T$ such that the $U_{i} /\!\!/ T$ are $A_{2}$-varieties. Then there exists a $T$-equivariant closed embedding $X \hookrightarrow Z$ into a smooth toric variety $Z$ on which $T$ acts as a subtorus of the big torus such that each $U_{i}$ is of the form $U_{i} = W_{i} \cap X$ with a toric open subset $W_{i} \subset Z$ admitting a good quotient $W_{i} \to W_{i} /\!\!/ T$. This result applies in particular to the family of open subsets $U \subset X$ that are maximal with respect to saturated inclusion among all open subsets admitting a good $A_{2}$-quotient space. In the appendix to this article we survey some general results on embeddings into toric varieties and prevarieties.
Plongements dans des variétés toriques, bons quotients
Embeddings into toric varieties, good quotients