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Construction de bons quotients par des plongements dans des variétés toriques

Producing good quotients by embedding into toric varieties

Jürgen Hausen
Construction de bons quotients par des plongements dans des variétés toriques
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  • Année : 2002
  • Tome : 6
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14E25,14L30,14M25
  • Pages : 193-212
Soit T un tore algébrique opérant de façon effective dans une variété algébrique Q-factorielle X. Supposons que X vérifie la propriété A2, c'est–à–dire : deux points quelconques de X ont un voisinage affine commun dans X. Nous démontrons le théorème de plongement suivant : Soient U1,,UrX des ouverts invariants par T admettant de bons quotients UiUi//T tels que les Ui//T vérifient la propriété A2. Alors il existe un plongement fermé T–équivariant XZ dans une variété torique ZT opère comme sous–tore du grand tore, tel que chaque Ui est de la forme Ui=WiX pour un ouvert torique WiZ admettant un bon quotient WiWi//T. Ce résultat s'applique en particulier à la famille des ouverts UX qui sont maximaux pour l'inclusion saturée parmi tous les ouverts admettant un bon quotient qui vérifie A2. Dans l'appendice à cet article, nous présentons des résultats généraux sur les plongements dans les variétés et les prévariétés toriques.
Let an algebraic torus T act effectively on a Q-factorial algebraic variety X. Suppose that X has the A2-property, that means any two points of X admit a common affine open neighbourhood in X. We prove the following embedding theorem : Let U1,,UrX be T-invariant open subsets with good quotients UiUi//T such that the Ui//T are A2-varieties. Then there exists a T-equivariant closed embedding XZ into a smooth toric variety Z on which T acts as a subtorus of the big torus such that each Ui is of the form Ui=WiX with a toric open subset WiZ admitting a good quotient WiWi//T. This result applies in particular to the family of open subsets UX that are maximal with respect to saturated inclusion among all open subsets admitting a good A2-quotient space. In the appendix to this article we survey some general results on embeddings into toric varieties and prevarieties.
Plongements dans des variétés toriques, bons quotients
Embeddings into toric varieties, good quotients