Nous étudions les sous-groupes uniformément récurrents de groupes agissant par homéomorphismes sur un espace topologique. Nous prouvons un résultat général reliant les sous-groupes uniformément récurrents aux stabilisateurs rigides de l'action, et en déduisons un critère de $C^\ast $-simplicité basé sur la non moyennabilité des stabilisateurs rigides. Comme application, nous prouvons que le groupe de Thompson $V$ est $C^\ast $-simple, de même que certains groupes d'homéomorphismes projectifs par morceaux de la droite réelle. Cela fournit des exemples de groupes finiment présentés qui sont $C^\ast $-simples et sans sous-groupes libres. Nous prouvons qu'un groupe branché est soit moyennable, soit $C^\ast $-simple. Nous prouvons également la réciproque d'un résultat de Haagerup et Olesen : si le groupe de Thompson $F$ n'est pas moyennable alors le groupe de Thompson $T$ est $C^\ast $-simple. Nos résultats fournissent de plus des conditions suffisantes sur un groupe d'homéomorphismes sous lesquelles les sous-groupes uniformément récurrents sont complètement compris. Cela s'applique aux groupes de Thompson, pour lesquels nous déduisons également des résultats de rigidité sur leurs actions sur des espaces compacts.