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Ergodic properties of some negatively curved manifolds with infinite measure

Ergodic properties of some negatively curved manifolds with infinite measure

Pierre VIDOTTO
Ergodic properties of some negatively curved manifolds with infinite measure
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  • Année : 2019
  • Tome : 160
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 58F17, 58F20, 20H10
  • Nb. de pages : 132
  • ISBN : 978-2-85629-901-2
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.468

Soit $M=X/\Gamma$ une variété géométriquement finie de courbure strictement négative et $\Gamma$ son groupe fondamental agissant par isométries sur $X$. Nous étudions successivement dans cet article une propriété de mélange du flot géodésique sur $T^1M$, le comportement quand $R\longrightarrow+\infty$ du nombre de géodésiques fermées de $M$ de longueur plus petite que $R$ et celui de la fonction orbitale $\#\{\gamma \in \Gamma | d(o,\gamma.o)\leqslant R\}$.

Ces propriétés sont bien connues dans le cas où la mesure de Bowen-Margulis est finie sur $T^1M$. Nous considérons ici un groupe de Schottky $\Gamma=\Gamma_1\ast\Gamma_2\ast\cdots \ast\Gamma_k$ de mesure de Bowen-Margulis infinie et ergodique, pour lequel au moins un facteur $\Gamma_i$ est parabolique et satisfait $\delta_{\Gamma_i}=\delta_\Gamma$. Les propriétés ergodiques ci-dessus sont alors précisées, en utilisant un codage symbolique induit par la structure de groupe de Schottky de $\Gamma$.

Let $M=X/\Gamma$ be a geometrically finite negatively curved manifold with fundamental group $\Gamma$ acting on $X$ by isometries. The purpose of this book is to study the mixing property of the geodesic flow on $T^1M$, the asymptotic behavior as $R\longrightarrow+\infty$ of the number of closed geodesics on $M$ of length less than $R$ and of the orbital counting function $\#\{\gamma \in \Gamma | d(o,\gamma.o)\leqslant R\}$.

These properties are well known when the Bowen-Margulis measure on $T^1M$ is finite. We consider here Schottky group $\Gamma=\Gamma_1\ast\Gamma_2\ast\cdots \ast\Gamma_k$ whose Bowen-Margulis measure is infinite and ergodic, such that one of the
elementary factor $\Gamma_i$ is parabolic with $\delta_{\Gamma_i}=\delta_\Gamma$. We specify these ergodic properties using a symbolic coding induced by the Schottky group structure.

Théorie ergodique, mesure infinie, flot géodésique, fonction orbitale, mélange, exposant critique, groupe de Schottky
Ergodic theory, infinite measure, geodesic flow, orbital function, mixing, critical exponent, Schottky groups
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