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Exactitude relative modulo une application polynomiale et actions algébriques de $(\mathbb {C}^p , +)$

Relative exactness modulo a polynomial map and algebraic $(\mathbb {C}^p , +)$-actions

Philippe Bonnet
Exactitude relative modulo une application polynomiale et actions algébriques de $(\mathbb {C}^p , +)$
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  • Année : 2003
  • Fascicule : 3
  • Tome : 131
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14R20, 14R25
  • Pages : 373-398
  • DOI : 10.24033/bsmf.2447
Soit $F=(f_1,\ldots ,f_q)$ une application polynomiale dominante de $\mathbb {C}^n$ dans $\mathbb {C}^q$. Nous étudions le quotient ${\mathcal {T}}^1(F)$ des 1-formes polynomiales qui sont exactes le long des fibres génériques de $F$, par les 1-formes du type $\mathrm {d} R + \sum a_i \mathrm {d} f_i$, où $R,a_1,\ldots ,a_q$ sont des polynômes. Nous montrons que ${\mathcal {T}}^1(F)$ est toujours un $\mathbb {C}[t_1,\ldots ,t_q]$-module de torsion. Nous déterminons ensuite sous quelles conditions sur $F$ ce module est réduit à zéro. En application, nous étudions le comportement d'une e d'actions algébriques de $(\mathbb {C}^p ,+)$ sur $\mathbb {C}^n$, et nous déterminons en particulier quand ces actions sont triviales.
Let $F=(f_1,\ldots ,f_q)$ be a polynomial dominating map from $\mathbb {C}^n$ to $\mathbb {C}^q$. We study the quotient ${\mathcal {T}}^1(F)$ of polynomial 1-forms that are exact along the generic fibres of $F$, by 1-forms of type $\mathrm {d} R + \sum a_i \mathrm {d} f_i$, where $R,a_1,\ldots ,a_q$ are polynomials. We prove that ${\mathcal {T}}^1(F)$ is always a torsion $\mathbb {C}[t_1,\ldots ,t_q]$-module. Then we determine under which conditions on $F$ we have ${\mathcal {T}}^1(F)=0$. As an application, we study the behaviour of a of algebraic $(\mathbb {C}^p ,+)$-actions on $\mathbb {C}^n$, and determine in particular when these actions are trivial.
Géométrie affine, cohomologie relative, théorie des invariants
Affine geometry, relative cohomology, invariant theory