SMF

Existence de graphes à transitions de probabilités sous-exponentielles et applications

Existence of graphs with sub exponential transitions probability decay and applications

Clément Rau
Existence de graphes à transitions de probabilités sous-exponentielles et applications
     
                
  • Année : 2010
  • Fascicule : 4
  • Tome : 138
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60J10, 60K35, 05C90
  • Pages : 491-542
  • DOI : 10.24033/bsmf.2595
Dans cet article, nous rappelons l'existence de graphes à valence finie tels que la probabilité de retour de la marche aléatoire simple soit de l'ordre de $\exp (-n^{\alpha }),$ pour $\alpha \in [0,1[$ et tels que la fonction de Følner du graphe soit en $\exp (n^{ \frac {2\alpha }{1-\alpha }})$. Ce résultat a été prouvé par Erschler (voir [?], [?]). Une preuve plus détaillée de cette construction est donnée en annexe. Dans une seconde partie, nous donnons une application de l'existence de tels graphes. Nous obtenons des estimées du bon ordre pour certaines fonctionnelles des temps locaux de la marche aléatoire simple sur un amas infini de percolation.
In this paper, we recall the existence of graphs with bounded valency such that the simple random walk has a return probability at time $n$ at the origin of order $\exp (-n^{\alpha }),$ for fixed $\alpha \in [0,1[$ and with Følner function $\exp (n^{ \frac {2\alpha }{1-\alpha }})$. This result was proved by Erschler (see [?], [?]) ; we give a more detailed proof of this construction in the appendix. In the second part, we give an application of the existence of such graphs. We obtain bounds of the correct order for some functional of the local time of a simple random walk on an infinite cluster on the percolation model.
Marche aléatoire, temps local, amas de percolation, inégalité isopérimétrique, produit en couronne, produit en couronne généralisé
Random walk, local time, percolation cluster, isoperimetric inequality, wreath product, generalized wreath product


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