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Exposé Bourbaki 1084 : Écarts entre nombres premiers, et nombres premiers dans les progressions arithmétiques

Exposé Bourbaki 1084 : Gaps between prime numbers and primes in arithmetic progressions

Emmanuel KOWALSKI
Exposé Bourbaki 1084 : Écarts entre nombres premiers, et nombres premiers dans les progressions arithmétiques
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  • Année : 2015
  • Tome : 367-368
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11N05, 11N13, 11N35, 11N37, 11L05, 11T23 .
  • Pages : 327-366
  • DOI : 10.24033/ast.950

Y. Zhang et J. Maynard ont récemment bouleversé nos connaissances concernant la répartition des nombres premiers. Zhang a d'abord démontré l'existence d'une infinité de paires de nombres premiers à distance bornée l'un de l'autre. Maynard a obtenu ensuite des bornes plus fortes ainsi que des résultats similaires pour les triplets, quadruplets, etc., de nombres premiers à distance bornée. Ces résultats extraordinaires sont basés sur la méthode découverte par Goldston, Pintz et Yıldırım pour l'étude de cette question. La méthode de Zhang s'appuie sur la preuve d'un énoncé de répartition des nombres premiers dans les progressions arithmétiques, au-delà de ce que permet l'Hypothèse de Riemann, qui est plus adapté que ceux connus depuis les travaux de Fouvry, Bombieri, Friedlander et Iwaniec. Celle de Maynard s'avère être plus élémentaire et ne fait appel qu'au théorème de Bombieri-Vinogradov. Les deux approches seront présentées.

Y. Zhang and J. Maynard have recently revolutionized our knowledge of prime numbers. Zhang has first proved the existence of infinitely many pairs of primes at bounded distance from each other, and Maynard has not only improved his bound, but also proved the corresponding property for triples, quadruples, etc., of primes. These extraordinary results are based on the method discovered by Goldston, Pintz and Yıldırım for the study of gaps between primes. Zhang's method is based on the proof of a statement concerning the distribution of primes in arithmetic progressions, beyond the reach of the Generalized Riemann Hypothesis, which is more adapted than those obtained by Fouvry, Bombieri, Friedlander and Iwaniec. Maynard's work, on the other hand, is more elementary and involves only the Bombieri-Vinogradov Theorem. Both of these approaches will be presented.

Prime numbers, primes in arithmetic progressions, prime gaps, sieve methods, exponential sums, bilinear forms .
Nombre premiers, nombres premiers dans les progressions arithmétiques, écarts entre nombres premiers, méthodes de crible, sommes exponentielles, formes bilinéaires.

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