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Exposé Bourbaki 1087 : La conjecture de courbure bornée dans $L^2$

Exposé Bourbaki 1087 : The bounded $L^2$ curvature conjecture

Jacques SMULEVICI
Exposé Bourbaki 1087 : La conjecture de courbure bornée dans $L^2$
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  • Année : 2015
  • Tome : 367-368
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 83C05 (53C50, 53C80, 35L72).
  • Pages : 411-450
  • DOI : 10.24033/ast.953

La relativité générale est l'un des piliers de la physique théorique moderne. Mathématiquement, il s'agit de l'étude des variétés lorentziennes satisfaisant aux équations d'Einstein, un système d'équations aux dérivées partielles déterminant l'évolution de la géométrie de la variété. La « conjecture de courbure bornée dans $L^2$ », proposée par Klainerman en 1999, affirme que le problème aux données initiales est bien posé dans la e des métriques telles que le tenseur de courbure est localement dans $L^2$. Après une brève introduction à l'étude des équations d'Einstein, nous présenterons les travaux récents de Klainerman, Rodnianski et Szeftel démontrant cette conjecture. Ce résultat fondamental est le point d'orgue d'une longue série de travaux dédiés aux équations d'ondes quasi-linéaires à faible régularité.

General relativity is one of the pillars of modern theoretical physics. Mathematically, it consists in the study of Lorentzian manifolds satisfying the Einstein equations, a system of partial differential equations determining the evolution of the geometry of the manifold. In 1999, Klainerman proposed the bounded $L^2$ curvature conjecture : the initial value problem should be well posed in a of metrics such that the curvature tensor is locally in $L^2$. Following a brief introduction to the study of the Einstein equations, we will present the recent works of Klainerman, Rodnianski and Szeftel establishing the validity of the conjecture. This fundamental result can be seen as the culminant point of a long sequence of works concerning the study of well-posedness for semi-linear and quasilinear wave equations applied to General Relativity and other geometric wave equations.

Einstein equations, general relativity, quasilinear wave equations, low regularity, Cauchy problem.
Équations d'Einstein, relativité générale, équations d'ondes quasilinéaires, basse régularité, problème de Cauchy.

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