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Exposé Bourbaki 1078 : Toute variété de dimension $3$ compacte et asphérique est virtuellement de Haken

Exposé Bourbaki 1078 : Every aspherical closed 3-manifold is virtually Haken

Nicolas BERGERON
Exposé Bourbaki 1078 : Toute variété de dimension $3$ compacte et asphérique est virtuellement de Haken
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  • Année : 2015
  • Tome : 367-368
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20F67 57Mxx.
  • Pages : 115-150
  • DOI : 10.24033/ast.955

La vieille conjecture — attribuée à Waldhausen et formulée en 1968 — dite « conjecture virtuellement Haken » était certainement la plus importante question ouverte concernant la topologie des variétés de dimension 3. Depuis la preuve de la conjecture de géométrisation par Grigori Perelman, elle ne restait plus à démontrer que pour les variétés hyperboliques. C'est ce que vient de faire Ian Agol en s'appuyant sur un travail de fond développé par Dani Wise. Mais Agol démontre bien plus, il démontre une conjecture de Wise qui a de nombreux corollaires : le groupe fondamental d'une variété hyperbolique compacte de dimension 3 possède un sous-groupe d'indice fini qui se surjecte sur un groupe libre non élémentaire, possède un sous-groupe d'indice fini qui est bi-ordonnable, s'injecte dans $\mathrm {GL} (n , \mathbf {Z})$ pour un certain $n$, etc. Au point que Danny Calegari n'a pas hésité à écrire : « It is hard to think of a question about fundamental groups of hyperbolic 3-manifolds that it doesn't answer. » Agol déduit enfin de son théorème que toute variété hyperbolique compacte de dimension 3 possède un revêtement fini qui est homéomorphe à la suspension d'une surface compacte par un difféomorphisme. Partant de ces questions iques de topologie de petite dimension, je formulerai la conjecture de Wise et tâcherai de donner les grandes lignes de la démonstration d'Agol. Tout cela sera émaillé de divers dessins (de cubes).

The ‘virtual Haken conjecture' — attributed to Waldhausen and formulated in 1968 — was certainly the most important remaining open question concerning the topology of 3-manifolds. Since the proof of the geometrization conjecture by Grigori Perelman, it was left to prove for hyperbolic manifolds. This is what Ian Agol recently achieved building on substantial work developed by Dani Wise. But Agol proves much more, he proves a conjecture of Wise that Agol had previously showed to imply Thurston's ‘virtual fibration conjecture' and that has many other amazing corollaries, including the fact that the fundamental group of every hyperbolic 3-manifold has a finite index subgroup which surjects onto a free group of rank 2 (i.e., it is “large”), has a finite index subgroup which is bi-orderable, injects in GL$(n , {\mathbf Z})$ for some $n$, and so on. Quoting Danny Calegari “It is hard to think of a question about fundamental groups of hyperbolic 3-manifolds that it doesn't answer.” In the talk I will explain what the Virtual Haken Conjecture is, how it motivates Wise's conjecture that I will formulate. Finally I will try to explain some of the ideas that goes into Agol's proof. This will be illustrated by pictures (of cubes).

Variétés de dimension 3, géométrie hyperbolique, complexes cubiques.
3-manifolds, hyperbolic geometry, cubic complexes.

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