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Exposé Bourbaki 1082 : Sur l'ultramétricité dans les verres de spin

Exposé Bourbaki 1082 : Ultrametricity in mean-field spin glasses

Erwin BOLTHAUSEN
Exposé Bourbaki 1082 : Sur l'ultramétricité dans les verres de spin
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  • Année : 2015
  • Tome : 367-368
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 82B44, 82B20, 60K35.
  • Pages : 255-283
  • DOI : 10.24033/ast.948

L'ultramétricité est au cœur de la théorie des verres de spin de Parisi, tout particulièrement pour le modèle de Sherrington-Kirkpatrick. De manière vague, elle affirme que la mesure de Gibbs est organisée de façon hiérarchique. Cette idée fut cruciale dans le calcul par Parisi de l'énergie libre à l'aide de la méthode non rigoureuse des répliques, ainsi que dans la méthode de cavité développée ultérieurement par Mézard et Parisi. Toutefois, la première preuve rigoureuse de la formule de Parisi, due à Talagrand, évitait complètement la question de l'ultramétricité ; en fait, la méthode de Talagrand ne permettait pas d'établir l'ultramétricité. Tout récemment, ce point a été largement clarifié, au moins pour le modèle SK et d'autres modèles proches, par la preuve qu'une version légèrement perturbée du modèle SK satisfait les identités dites de Ghirlanda-Guerra, puis par la preuve par Panchenko que ces identités entraînent l'ultramétricité. Ceci a aussi conduit à une nouvelle preuve de la formule de Parisi pour l'énergie libre qui est conceptuellement très proche de l'image des physiciens des verres de spin en champ moyen.

Ultrametricity lies at the core of the Parisi theory of spin glasses, particularly for the Sherrington- Kirkpatrick model. In a vague sense, it claims that the Gibbs measure is hierarchically organized. This picture was crucial for the original derivation by Parisi of the free energy using the non-rigorous replica method, and also in the later developed cavity method by Mézard and Parisi. However, the first rigorous proof by Talagrand of the Parisi formula completely avoided a discussion of ultrametricity, and in fact, it was not possible to prove ultrametricity by Talagrand's method. In a recent development, this point was clarified to a large extent, at least for the SK-model and related ones. It is based on a proof that a slightly perturbed SK-model satisfies the so-called Ghirlanda-Guerra identities, and then in the proof by Panchenko that these identities imply ultrametricity. This then leads also to a new proof of the Parisi-formula for the free energy, which is conceptually very close to the original physicists picture of mean-field type spin glasses.

Spin glasses, ultrametricity, Parisi formula, Ghirlanda-Guerra identity.
Verres de spin, ultrametricité, formule de Parisi, identité de Ghirlanda-Guerra.

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