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Exposé Bourbaki 1080 : Méthodes de min-max et la conjecture de Willmore

Exposé Bourbaki 1080 : Min-max methods and the Willmore conjecture

Tristan RIVIÈRE
Exposé Bourbaki 1080 : Méthodes de min-max et la conjecture de Willmore
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  • Année : 2015
  • Tome : 367-368
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53C42 (49Q20).
  • Pages : 179-217
  • DOI : 10.24033/ast.946

Il y a bientôt deux ans F.C. Marques et A. Neves ont mis en œuvre dans le cadre des courants rectifiables fermés de dimension 2 dans la sphère 3-dimensionnelle une méthode de min-max en théorie de la mesure géométrique due à F. Almgren et J. Pitts. Ils sont ainsi parvenus à démontrer que le fameux « tore de Clifford » minimise l'aire parmi toutes les surfaces minimales de genre non nul dans la sphère tridimensionnelle. Une des conséquences spectaculaires de ce résultat est la démonstration de la conjecture dite « de Willmore ». Le but de cet exposé sera de rendre compte du cadre général du résultat de Marques et Neves, de la structure et de certains détails clés de la preuve, ainsi que de la portée de cette contribution remarquable au calcul des variations des surfaces en dimension 3.

Two years ago, F.C. Marques and A. Neves implemented, in the framework of closed rectifiable 2-dimensional currents of the 3-dimensional sphere, a min-max method in geometric measure theory due to F. Almgren and J. Pitts. Using this approach they succeeded in proving that the famous “Clifford torus” minimizes the area among all closed minimal surfaces in $S^3$ of non-zero genus. Another spectacular consequence of their work is to provide a proof of the Willmore conjecture. The goal of this talk will be to discuss first the general framework of these two main theorems of Marques and Neves in this work. We shall then present the structures and some key details of their proofs. We will then address the scope of this remarkable contribution to the calculus of variations on surfaces in a 3-dimensional space.

Géométrie conforme, surface minimale, conjecture de Willmore méthode de min-max.
Conformal geometry, minimal surface, Willmore conjecture min-max method.

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