SMF

Exposé Bourbaki 1144 : Relations de Hodge-Riemann et combinatoire des matroïdes (d'après K. Adiprasito, J. Huh et E. Katz)

Exposé Bourbaki 1144 : Relations de Hodge-Riemann et combinatoire des matroïdes (after K. Adiprasito, J. Huh et E. Katz)

Antoine CHAMBERT-LOIR
Exposé Bourbaki 1144 : Relations de Hodge-Riemann et combinatoire des matroïdes (d'après K. Adiprasito, J. Huh et E. Katz)
  • Consulter un extrait
  • Année : 2019
  • Tome : 414
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 05A99; 05E99; 14F43; 14F99; 14M25; 14T05
  • DOI : 10.24033/ast.1088

Les matroïdes finis sont des structures combinatoires qui expriment la notion d’indépendance linéaire. En 1964, G.-C. Rota conjectura que les coefficients du polynôme caractéristique d’un matroïde $ M$, polynôme dont les coefficients énumèrent ses sous-ensembles de rang donné, forment une suite log-concave. K. Adiprasito, J. Huh et E. Katz viennent de démontrer cette conjecture par des méthodes qui, bien qu’entièrement combinatoires, sont inspirées par la géométrie algébrique. À partir de l’éventail de Bergman du matroïde $ M$, ils définissent en effet un anneau de Chow gradué $ A(M)$ pour lequel ils établissent des analogues de la dualité de Poincaré, du théorème de Lefschetz difficile et des relations de Hodge-Riemann. Les inégalités de log-concavité recherchées sont alors analogues aux inégalités de Khovanskii-Teissier.

Finite matroids are combinatorial structures that express the concept of linear independence. In 1964, G.-C. Rota conjectured that the coefficients of the ‘characteristic polynomial” of a matroid $ M$, polynomial whose coefficients enumerate its subsets of given rank,
form a log-concave sequence. K. Adiprasito, J. Huh et E. Katz just proved this conjecture using methods which, although entirely combinatorial, are inspired by algebraic geometry. From the Bergman fan of the matroid $ M$, they define a grader ‘Chow ring” $ A(M)$ for which they prove analogs of the Poincaré duality, the Hard Lefschetz theorem, and the Hodge-Riemann relations. The sought for log-concavity inequalities are then analogous to the Khovanskii-Teissier inequalities.

Matroïdes, anneau de Chow, variétés toriques, relations de Hodge-Riemann, cohomologie d’intersection
Matroïdes, anneau de Chow, variétés toriques, relations de Hodge-Riemann, cohomologie d’intersection
Prix
Adhérent 7 €
Non-Adhérent 10 €
Quantité
- +