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Exposé Bourbaki 1146 : Distribution asymptotique des valeurs propres des endomorphismes de Frobenius (d'après Abel, Chebyshev, Robinson,...)

Exposé Bourbaki 1146 : Distribution asymptotique des valeurs propres des endomorphismes de Frobenius (after Abel, Chebyshev, Robinson,...)

Jean-Pierre SERRE
Exposé Bourbaki 1146 : Distribution asymptotique des valeurs propres des endomorphismes de Frobenius (d'après Abel, Chebyshev, Robinson,...)
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  • Année : 2019
  • Tome : 414
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11B05
  • Pages : 379-426
  • DOI : 10.24033/ast.1090

Les polynômes  caractéristiques des Frobenius conduisent à des polynômes unitaires $ P\in \mathbb Z[X]$ dont les racines $ (x_i)$ appartiennent à un intervalle $ I$ de la forme $ -2q^{1/2},2q^{1/2}]$. La moyenne $ \mu_P$ des mesures de Dirac $ \delta_{x_i}$ est une mesure sur $ I$. Quelles sont les limites des  $ \mu_P$ quand $ P$ varie ($ I$ restant fixe) ? Nous répondrons partiellement à ces questions ; les démonstrations sont basées sur un theorème de R. M. Robinson (1964), lui-même lié à des constructions d’Abel (1826) et de Chebyshev (1854).

The characteristic polynomials of a Frobenius lead to monic polynomials  $ P\in \mathbb Z[X]$ whose roots $ (x_i)$ belong to an interval $ I$ of the form $ [-2q^{1/2},2q^{1/2}]$. The average $ \mu_P$ of the Dirac measures $ \delta_{x_i}$ is a measure on $ I$. What are the limits of the $ \mu_P$ when $ P$ varies (for fixed $ I$) ? In particular, what are their supports? We shall partially answer these questions; the proofs rely on a theorem of R.M. Robinson (1964), itself related to constructions of Abel (1826) and Chebyshev (1854).

Mesure, capacité, Abel, Chebyshev, Robinson
Measure, capacity, Abel, Chebyshev, Robinson
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