Si $T$ est une bijection bimesurable, préservant la mesure, de l'espace probabilisé $(X,{\cal A},m)$, et si $f \in L^2(X)$, une application facile du théorème d'équirépartition de Weyl dit que les moyennes $M_Nf(x) = {1\over N}\,\sum ^N_{k=1}\,f(T^{k^2}x)$ convergent dans $L^2$. À la question ancienne de leur convergence presque sûre, J. Bourgain a donné une réponse positive en introduisant une méthode entièrement nouvelle. Se ramenant, pour établir une inégalité maximale, au modèle de la translation sur $\bf Z$, il traduit la question par transformation de Fourier en un problème d'analyse harmonique. Il le résout en utilisant notamment une technique de découpage en arcs majeurs comme dans la méthode du cercle de Hardy-Littlewood. Auparavant, sur ce modèle de la translation, tous les outils utilisés étaient de nature combinatoire. Bourgain a étendu la validité de son résultat à toutes les fonctions $L^p$, $p > 1$ et pour d'autres types de suites : les polynômes à coefficients entiers, les nombres premiers, etc.