Exposé Bourbaki 781 : La théorie des blocs et les groupes génériques

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Les propriétés arithmétiques des caractères d'un groupe fini G conduisent à la notion de ℓ-bloc pour chaque nombre premier ℓ divisant l'ordre de G. L'essentiel des propriétés de ces blocs peuvent se coder dans certaines catégories dérivées de modules, et Broué a avancé une conjecture très générale sur l'équivalence de certaines de ces catégories. Par ailleurs, on sait que l'ordre d'un groupe de Chevalley G(Fq) associé à un corps fini s'exprime par un polynôme P(q), produit de polynômes cyclotomiques. Si Φ(q) est l'un de ces polynômes, la théorie des blocs associés aux diviseurs premiers ℓ de Φ(q) ne dépend que de Φ(q), d'où la notion de Φ-bloc. La théorie peut se formuler pour q “générique” en termes du système de racines associé à G et du polynôme Φ. Ceci conduit à l'introduction de nouvelles algèbres de Hecke, baptisées “cyclotomiques”, et à des conjectures d'un type inédit, étudiées activement par Broué, Malle et Michel.