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Exposé Bourbaki 918 : Systèmes hyperboliques et viscosité évanescente

Exposé Bourbaki 918 : Hyperbolic systems and vanishing viscosity

Frédéric ROUSSET
Exposé Bourbaki 918 : Systèmes hyperboliques et viscosité évanescente
  • Année : 2004
  • Tome : 294
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35F20, 35F25, 35B25, 35B35
  • Pages : 231-250
  • DOI : 10.24033/ast.631

Le but de l'exposé est de présenter les résultats obtenus par S. Bianchini et A. Bressan sur le problème de Cauchy pour des perturbations visqueuses $ \partial _t u^\varepsilon + \partial _x f(u^\varepsilon ) = \varepsilon \partial _{xx} u^\varepsilon $ de systèmes strictement hyperboliques $\partial _t u + \partial _x f(u) =0$ en une dimension d'espace. Ils ont en particulier montré l'existence globale ($t\geq 0$), l'unicité et la stabilité des solutions et justifié la convergence quand $\varepsilon $ tend vers zéro pour des données initiales à petite variation totale. Leur analyse montre aussi que les solutions du système hyperbolique ainsi obtenues coïncident avec les solutions provenant d'autres types d'approximations.

In this talk we will present the works of S. Bianchini and A. Bressan on the Cauchy problem for viscous perturbations $ \partial _t u^\varepsilon + \partial _x f(u^\varepsilon ) = \varepsilon \partial _{xx} u^\varepsilon $ of one-dimensional strictly hyperbolic systems $\partial _t u + \partial _x f(u) =0$. They have shown global existence ($t\geq 0$), uniqueness and stability and they have justified the limit when $\varepsilon $ goes to zero for initial data with small total variation. Their analysis also shows that the solutions of the hyperbolic system obtained by this method coincide with the solutions obtained by other types of approximations.

Systèmes hyperboliques, méthode de viscosité
Hyperbolic systems, vanishing viscosity method
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