La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l'ordre $r_\infty $ du zéro en $s=1$ de la fonction $L$ d'une courbe elliptique $E$ définie sur $\mathbf Q$ est égal au rang $r$ du groupe de ses points rationnels. On sait démontrer cette conjecture si $r_\infty =0$ ou $1$, mais on n'a aucun résultat reliant $r_\infty $ et $r$ si $r_\infty \geq 2$. Nous expliquerons comment Kato démontre que la fonction $L$ $p$-adique attachée à $E$ a, en $s=1$, un zéro d'ordre supérieur ou égal à $r$.