Nous considérons certains feuilletages naturels de l'espace des modules (de Painlevé VI) des connexions de rang $2$ sur $\mathbb {P} ^1 -\{ t_1,t_2,t_3,t_4\}$. Ces feuilletages sont des fibrations et s'interprètent en termes de filtration de Hodge non abélienne, donnant une preuve de la conjecture de feuilletage dans ce cadre. Essentiellement deux sortes de fibrations apparaissent : elles proviennent respectivement des singularités apparentes et de la structure sous-jacente de fibré quasiparabolique. Nous montrons qu'elles sont transverses. La symétrie d'Okamoto, qui peut-être vue comme la convolution moyenne de Katz, échange les deux types de feuilletages (singularité apparente et fibré quasiparabolique).