Soient $G$ un groupe de Lie et $\sigma $ une mesure de Radon positive sur les boréliens de $G$. Nous étudions le cône des fonctions boréliennes positives $h$ sur $G$, solutions de l'équation fonctionnelle $\forall g\in G$, $\int _G h(gx)\sigma ({\rm d} x)= h(g)$. Sous des conditions iques sur $\sigma $, nous obtenons, pour certains groupes résolubles, une description complète de ce cône. En particulier, nous généralisons un résultat de L. Élie sur le groupe affine réel et nous répondons à une question posée par T. Lyons et D. Sullivan.