Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $p>0$. Fontaine et Messing ont calculé la cohomologie cristalline d'un $k$-schéma comme cohomologie du faisceau $H_{\mathrm {cris}}^0$ sur le site syntomique de $\mathrm {Spec}\, k$ et ont construit, grâce aux vecteurs de Witt, un préfaisceau dont $H_{\mathrm {cris}}^0$ est le faisceau associé sur ce site. Nous construisons un site log-syntomique et proposons des résultats analogues sur le point logarithmique $(\mathbb {N}\to k,1\mapsto 0)$ pour diverses bases logarithmiques. Ceci nous permet de construire un opérateur de monodromie sur la cohomologie log-cristalline d'un log-schéma quelconque sur le point logarithmique. Nous en déduisons une suite exacte longue de cohomologie. En appendice, nous calculons « à la Čech », avec des recouvrements syntomiques, la cohomologie cristalline ique de certaines $k$-algèbres de type fini et nous en donnons un analogue logarithmique.