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Topologie log-syntomique, cohomologie log-cristalline et cohomologie de Čech

Christophe Breuil
Topologie log-syntomique, cohomologie log-cristalline et cohomologie de Čech
  • Année : 1996
  • Fascicule : 4
  • Tome : 124
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11~S~20, 14~F~40, 14~F~30
  • Pages : 587-647
  • DOI : 10.24033/bsmf.2294
Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $p>0$. Fontaine et Messing ont calculé la cohomologie cristalline d'un $k$-schéma comme cohomologie du faisceau $H_{\mathrm {cris}}^0$ sur le site syntomique de $\mathrm {Spec}\, k$ et ont construit, grâce aux vecteurs de Witt, un préfaisceau dont $H_{\mathrm {cris}}^0$ est le faisceau associé sur ce site. Nous construisons un site log-syntomique et proposons des résultats analogues sur le point logarithmique $(\mathbb {N}\to k,1\mapsto 0)$ pour diverses bases logarithmiques. Ceci nous permet de construire un opérateur de monodromie sur la cohomologie log-cristalline d'un log-schéma quelconque sur le point logarithmique. Nous en déduisons une suite exacte longue de cohomologie. En appendice, nous calculons « à la Čech », avec des recouvrements syntomiques, la cohomologie cristalline ique de certaines $k$-algèbres de type fini et nous en donnons un analogue logarithmique.
Let $k$ be a perfect field of characteristic $p>0$. Fontaine and Messing have calculated the crystalline cohomology of a $k$-scheme as the cohomology of the sheaf $H_{\mathrm {cris}}^0$ on the syntomic site of $\mathrm {Spec}\, k$. Using Witt vectors they have constructed a presheaf whose associated sheaf on this site is $H_{\mathrm {cris}}^0$. We build a log-syntomic site and give analogous results on the logarithmic point $(\mathbb {N}\to k,1\mapsto 0)$ for various logarithmic bases. This allows us to construct a monodromy operator on the log-crystalline cohomology of any log-scheme on the logarithmic point and we deduce then a long exact sequence of cohomology. In appendix, we calculate « à la Čech »the ical crystalline cohomology of some $k$-algebras of finite type using syntomic coverings. We give also analogous « logarithmic »results.
Log-structure, morphisme syntomique, cohomologie cristalline, opérateur de monodromie, cohomologie de Čech
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