SMF

Groups réductifs non-déployés sur $\mathbf Z$

Non-split reductive groups over $\mathbf Z$

Brian Conrad
  • Année : 2016
  • Tome : 46
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 193-253
Nous étudions le phénomène suivant : certains $\mathbb Q $-groupes $G$ semi-simples connexes non déployés admettent comme modèles des $\mathbb Z $-groupes $\mathscr {G}$ affines et plats avec “partout bonne réduction” (c'est à dire, $\mathscr {G}_{\mathbf {F}_p}$ est un $\mathbf {F}_p$-groupe semi-simple pour chaque premier $p$). En outre, considérant de tels $\mathscr {G}$ à $\mathbb Z $-groupe isomorphisme près, il y a au plus un tel $\mathscr {G}$ pour un $G$ donné. Ceci est vu iquement pour les types $\rm {B}$ et $\rm {D}$ en utilisant des réseaux quadratiques définis positifs. L'étude de ces $\mathbb Z $-groupes donne lieu à des applications concrètes d'aspects multiples, de la théorie des groupes réductifs sur des anneaux (schémas de sous-groupes de Borel, schémas d'automorphismes, cohomologie relative non abélienne, etc.), et met en évidence le rôle de la théorie des nombres (théorie du corps de es, formules de masse, approximation forte, comptage de points sur les corps finis, etc.) dans l'analyse des possibilités. En partie, ceci est un article d'exposition sur [?].
We study the following phenomenon : some non-split connected semisimple $\mathbb Q $-groups $G$ admit flat affine $\mathbb Z $-group models $\mathscr {G}$ with “everywhere good reduction” (i.e., $\mathscr {G}_{\mathbf {F}_p}$ is a connected semisimple $\mathbf {F}_p$-group for every prime $p$). Moreover, considering such $\mathscr {G}$ up to $\mathbb Z $-group isomorphism, there can be more than one such $\mathscr {G}$ for a given $G$. This is seen ically for types $\rm {B}$ and $\rm {D}$ by using positive-definite quadratic lattices. The study of such $\mathbb Z $-groups provides concrete applications of many facets of the theory of reductive groups over rings (scheme of Borel subgroups, automorphism scheme, relative non-abelian cohomology, etc.), and it highlights the role of number theory ( field theory, mass formulas, strong approximation, point-counting over finite fields, etc.) in analyzing the possibilities. In part, this is an expository account of [?].