Nous présentons des résultats quantitatifs pour l'homogénéisation de fonctionnelles intégrales uniformément convexes avec coefficients aléatoires sous hypothèses d'indépendance. Le résultat principal est une estimation d'erreur pour le problème de Dirichlet qui est algébrique (mais sous-optimale) en la taille de l'erreur, mais optimale en intégrabilité stochastique. Comme application, nous obtenons des estimées $C^{0,1}$ pour les minimiseurs locaux de telles fonctionnelles d'énergie.