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Représentations géométriques des groupes de tresses

Geometric representations of the braid groups

Fabrice Castel
Représentations géométriques des groupes de tresses
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  • Année : 2016
  • Tome : 378
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : Primary 20F38, 57M07. Secondary 57M99, 20F36, 20E36, 57M05
  • Nb. de pages : vi+175
  • ISBN : 978-2-85629-835-0
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.980
On appelle représentation géométrique toute représentation d'un groupe dans le groupe de difféotopies, couramment appelémapping group, d'une surface. Soient $\Sigma _{g,b}$ la surface orientable, compacte et connexe de genre $g$ possédant $b$ composantes de bord et $\mathop {\mathcal {PM}\mathrm {od}}(\Sigma _{g,b})$ le groupe de difféotopies associé préservant chaque composante de bord. Le but de cet article est de décrire l'ensemble des représentations géométriques du groupe de tresses $\mathscr {B}_n$ à $n\geqslant 6$ brins dans $\mathop {\mathcal {PM}\mathrm {od}}(\Sigma _{g,b})$, pour tous $n$, $g$, $b$ pourvu que $g\leqslant n/2$. On prouve que sous cette seule condition, de telles représentations sont soit cycliques, c'est-à-dire d'image cyclique, soit des transvections d'homomorphismes de monodromie, c'est-à-dire qu'à multiplication près par un élément du centralisateur de l'image, l'image d'un générateur standard de $\mathscr {B}_n$ est un twist de Dehn, et l'image de deux générateurs standards consécutifs sont deux twists de Dehn le long de deux courbes s'intersectant en un point. De nombreux corollaires en découlent. On les prouvera dans de futurs articles, mais on explique ici comment chacun se déduit de notre théorème principal. Ces corollaires concernent cinq familles de groupes : les groupes de tresses $\mathscr {B}_n$ pour tout $n\geqslant 6$, les groupes d'Artin de type $D_n$ pour tout $n\geqslant 6$, les groupes d'Artin de type $E_n$ pour tout $n\in \{6,7,8\}$, les groupes de difféotopies $\mathop {\mathcal {PM}\mathrm {od}}(\Sigma _{g,b})$ (préservant chaque composante de bord) et les groupes de difféotopies $\mathop {\mathcal {M}\mathrm {od}}(\Sigma _{g,b},\partial \Sigma _{g,b})$ (préservant le bord point par point), pour tout $g\geqslant 2$ et $b\geqslant 0$. Pour chacune de ces familles, excepté les groupes de type $E_n$, on décrira précisément la structure (toujours remarquable) des endomorphismes, on déterminera les endomorphismes injectifs, les automorphismes et le groupe d'automorphismes extérieurs. On décrira également l'ensemble des homomorphismes entre groupes de tresses $\mathscr {B}_n\to \mathscr {B}_m$ avec $m\leqslant n+1$ et l'ensemble des homomorphismes entre groupes de difféotopies de surfaces (éventuellement à bords) dont les genres (supérieurs à 2) diffèrent d'au plus 1. Concernant les groupes d'Artin de type $E_n$, on décrira toutes leurs représentations géométriques, et l'on déduira d'un théorème de Waynryb qu'aucune n'est injective.
We define a geometric representation to be any representation of a group in the mapping group of a surface. Let $\Sigma _{g,b}$ be the orientable connected compact surface of genus $g$ with $b$ boundary components, and $\mathop {\mathcal {PM}\mathrm {od}}(\Sigma _{g,\,b})$ the associated mapping group globally preserving each boundary component. The aim of this paper consists in describing the set of the geometric representations of the braid group $\mathscr {B}_n$ with $n\geqslant 6$ strands in $\mathop {\mathcal {PM}\mathrm {od}}(\Sigma _{g,\,b})$ subject to the only condition that $g\leqslant n/2$. We prove that under this condition, such representations are either cyclic, that is, their images are cyclic groups, or are transvections of monodromy homomorphisms, that is, up to multiplication by an element in the centralizer of the image, the image of a standard generator of $\mathscr {B}_n$ is a Dehn twist, and the images of two consecutive standard generators are two Dehn twists along two curves intersecting in one point. This leads to different results. They will be proved in later papers, but we explain how they are deduced from our main theorem. These corollaries concern four families of groups : the braid groups $\mathscr {B}_n$ for all $n\geqslant 6$, the Artin groups of type $D_n$ for all $n\geqslant 6$, the mapping groups $\mathop {\mathcal {PM}\mathrm {od}}(\Sigma _{g,\,b})$ (preserving each boundary component) and the mapping groups $\mathop {\mathcal {M}\mathrm {od}}(\Sigma _{g,\,b},\,\partial \Sigma _{g,\,b})$ (preserving the boundary pointwise), for $g\geqslant 2$ and $b\geqslant 0$. We describe the remarkable structure of the sets of the endomorphisms of these groups, their automorphisms and their outer automorphism groups. We also describe the set of the homomorphisms between braid groups $\mathscr {B}_n\to \mathscr {B}_m$ with $m\leqslant n+1$ and the set of the homomorphisms between mapping groups of surfaces (possibly with boundary) whose genera (greater than or equal to 2) differ by at most one. Finally, we describe the set of the geometric representations of the Artin groups of type $E_n$ ($n\in \{6,\,7,\,8\}$).
surface, groupe de diffétopies, mapping group, groupe de tresses, rigidité, représentation géométrique, ification de Nielsen Thurston, transvection, morphisme de monodromie
surface, mapping group, braid group, rigidity, geometric representation, Nielsen Thurston's ification, transvection, monodromy morphism
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