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Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension

Pre-image of the skeleton under a map between Berkovich spaces of the same dimension

Antoine Ducros
Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension
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  • Année : 2003
  • Fascicule : 4
  • Tome : 131
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14G22
  • Pages : 483-506
  • DOI : 10.24033/bsmf.2452
Cet article concerne les espaces analytiques au sens de Berkovich. Soit $k$ un corps complet pour une valeur absolue ultramétrique et soit $\mathfrak {X}$ un schéma formel au-dessus de la boule unité $k^0$ de $k$. Si $\mathfrak {X}$ est pluristable (ce qui signifie essentiellement que les singularités de sa fibre spéciale sont « raisonnables ») alors sa fibre générique ${\mathfrak X}_{\eta }$ se rétracte sur l'un de ses sous-ensembles fermés noté $S(\mathfrak {X})$ (c'est le squelette de $\mathfrak {X}$) qui possède une structure naturelle d'espace linéaire par morceaux. Si $\mathfrak {Y}\rightarrow \mathfrak {X}$ est un morphisme étale entre deux schémas formels pluristables alors $S(\mathfrak {Y})$ est l'image réciproque de $S(\mathfrak {X})$, et $S(\mathfrak {Y})\rightarrow S(\mathfrak {X})$ est linéaire par morceaux. Dans ce texte nous prouvons que si $\mathfrak {X}$ est pluristable purement de dimension $n$ et si $\phi $ est un morphisme quelconque d'un espace strictement $k$-analytique topologiquement séparé de dimension $\leq n$ vers $\mathfrak {X}_{\eta }$ alors $\phi ^{-1}(S(\mathfrak {X}))$ possède une unique structure linéaire par morceaux telle que $\phi $ soit linéaire par morceaux.
This article deals with Berkovich analytic spaces. Let $k$ be a complete field with respect to an ultrametric absolute value and let $\mathfrak {X}$ be a formal scheme over the unit ball $k^0$ of $k$. If $\mathfrak {X}$ is pluri-stable (roughly speaking, it means that the singularities of its special fibre are “not too bad ») then its generic fibre $\mathfrak {X}_{\eta }$ admits a retraction toward a closed subset $S(\mathfrak {X})$ (the skeleton of $\mathfrak {X}$) which carries a natural structure of piecewise-linear space. If $\mathfrak {Y}\rightarrow \mathfrak {X}$ is an étale morphism between two pluri-stable formal schemes then $S(\mathfrak {Y})$ is exactly the pre-image of $S(\mathfrak {X})$, and $S(\mathfrak {Y})\rightarrow S(\mathfrak {X})$ is piecewise-linear. Here we show that if $\mathfrak {X}$ is pluri-stable of pure dimension $n$ and if $\phi $ is any morphism from an Hausdorff strictly $k$-analytic space of dimension $\leq n$ to $\mathfrak {X}_{\eta }$ then $\phi ^{-1}(S(\mathfrak {X}))$ carries a unique piecewise-linear structure such that $\phi $ is piecewise-linear.
Espaces de Berkovich, structures linéaires par morceaux
Berkovich spaces, piecewise-linear structures