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Platitude du module universel pour $\mathrm {GL}_3$ en caractéristique non banale

Flatness of the universal module for $\mathrm {GL}_3$

Joël Bellaïche, Ania Otwinowska
Platitude du module universel pour $\mathrm {GL}_3$ en caractéristique non banale
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  • Année : 2003
  • Fascicule : 4
  • Tome : 131
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20C12, 20C20
  • Pages : 507-525
  • DOI : 10.24033/bsmf.2453
Soient $F$ un corps $p$-adique, $G=\mathrm {GL}_3(F)$. Pour $\chi $ un caractère de l'algèbre de Hecke sphérique de $G$ sur un anneau commutatif $k$, on introduit à la suite de Serre une représentation lisse $M_\chi $ de $G$ sur $k$ qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de $G$ sur $k$. Nous prouvons que $M_\chi $ est plat sur $k$ et que si $p$ est inversible dans $k$, alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit $U$ de $G$, le module $M_\chi ^U$ est libre de rang fini sur $k$. Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons que si $k$ est un corps de caractéristique différente de $p$, $M_{\chi }$ a même semi-simplification que la série principale non ramifiée de caractère $\chi $, dont la structure est décrite par les travaux de Vignéras.
Let $F$ be a $p$-adic field, $G=\mathrm {GL}_3(F)$, and $\chi $ a character of the spherical Hecke algebra over a commutative ring $k$. We introduce, following Serre, a smooth representation of $G$ over $k$ which is central for the theory of unramified representation of $G$ over $k$. We prove that $M_\chi $ is flat over $k$ for arbitrary $k$, and that if $p$ is invertible in $k$, that $M_\chi ^U$ is free of finite rank over $k$ for $U$ small compact open subgroup of $G$. This was conjectured by Lazarus. As a corollary, we obtain that if $k$ is a field of characteristic different of $p$, $M_\chi $ has the same semi-simplification that the unramified principal serie with character $\chi $, whose structure is known thanks to Vignéras.
Platitude, module universel, représentations modulaires, représentations non ramifiées, immeubles
Flatness, universal module, modular representation, unramified representation, buildings