SMF

Platitude du module universel pour $\mathrm {GL}_3$ en caractéristique non banale

Flatness of the universal module for $\mathrm {GL}_3$

Joël Bellaïche, Ania Otwinowska
Platitude du module universel pour $\mathrm {GL}_3$ en caractéristique non banale
     
                
  • Année : 2003
  • Fascicule : 4
  • Tome : 131
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20C12, 20C20
  • Pages : 507-525
  • DOI : 10.24033/bsmf.2453
Soient $F$ un corps $p$-adique, $G=\mathrm {GL}_3(F)$. Pour $\chi $ un caractère de l'algèbre de Hecke sphérique de $G$ sur un anneau commutatif $k$, on introduit à la suite de Serre une représentation lisse $M_\chi $ de $G$ sur $k$ qui gouverne la théorie des représentations non ramifiées de $G$ sur $k$. Nous prouvons que $M_\chi $ est plat sur $k$ et que si $p$ est inversible dans $k$, alors pour tout sous-groupe compact ouvert suffisament petit $U$ de $G$, le module $M_\chi ^U$ est libre de rang fini sur $k$. Ceci était conjecturé par Lazarus. Comme corollaire, nous obtenons que si $k$ est un corps de caractéristique différente de $p$, $M_{\chi }$ a même semi-simplification que la série principale non ramifiée de caractère $\chi $, dont la structure est décrite par les travaux de Vignéras.
Let $F$ be a $p$-adic field, $G=\mathrm {GL}_3(F)$, and $\chi $ a character of the spherical Hecke algebra over a commutative ring $k$. We introduce, following Serre, a smooth representation of $G$ over $k$ which is central for the theory of unramified representation of $G$ over $k$. We prove that $M_\chi $ is flat over $k$ for arbitrary $k$, and that if $p$ is invertible in $k$, that $M_\chi ^U$ is free of finite rank over $k$ for $U$ small compact open subgroup of $G$. This was conjectured by Lazarus. As a corollary, we obtain that if $k$ is a field of characteristic different of $p$, $M_\chi $ has the same semi-simplification that the unramified principal serie with character $\chi $, whose structure is known thanks to Vignéras.
Platitude, module universel, représentations modulaires, représentations non ramifiées, immeubles
Flatness, universal module, modular representation, unramified representation, buildings


Des problèmes avec le téléchargement?Des problèmes avec le téléchargement?
Informez-nous de tout problème que vous avez...