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Introduction à la théorie de Galois des algèbres de modules artiniennes simples

Introduction to the Galois theory of Artinian simple module algebras

Florian Heiderich
  • Année : 2013
  • Tome : 27
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 12H05, 12H10, 13B05, 16T10, 34M15
  • Pages : 69-92
Nous donnons une introduction à une théorie de Galois des algèbres de modules artiniennes simples. À cet effet, nous rappelons tout d'abord les théories de Picard-Vessiot des équations différentielles ou aux différences, ainsi que la théorie de Galois différentielle d'Umemura et la théorie de Galois aux différences de Morikawa-Umemura. Nous esquissons ensuite les idées principales de l'unification, due à Amano et Masuoka, des théories de Picard-Vessiot des équations différentielles ou aux différences. Nous montrons alors comment la théorie de Galois différentielle d'Umemura et la théorie de Galois aux différences de Morikawa-Umemura peuvent être unifiées en utilisant les algèbres de modules artiniennes simples à la place, respectivement, des corps différentiels ou aux différences ; de plus, nous supprimons la restriction aux corps de caractéristique nulle. Nous comparons enfin cette théorie unifiée à la théorie de Picard-Vessiot d'Amano et Masuoka, dans le cas des extensions de Picard-Vessiot d'algèbres de modules artiniennes simples.
We give an introduction to a Galois theory of Artinian simple module algebras. To this end, we first recall the Picard-Vessiot theories of differential and difference equations, Umemura's differential Galois theory and Morikawa-Umemura's difference Galois theory. Then we sketch the main ideas of Amano and Masuoka's unification of the Picard-Vessiot theories of differential and difference extensions. We show how the differential Galois theory of Umemura and the difference Galois theory of Morikawa-Umemura can be unified using Artinian simple module algebras in lieu of differential or difference fields, respectively, and remove the restriction to fields of characteristic $0$. Finally, we compare this unified theory to the Picard-Vessiot theory of Amano and Masuoka in the case of Picard-Vessiot extensions of Artinian simple module algebras.
Galois theory, module algebra