SMF

Introduction à la théorie de Galois des algèbres de modules artiniennes simples

Introduction to the Galois theory of Artinian simple module algebras

Florian Heiderich
     
                
  • Année : 2013
  • Tome : 27
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 12H05, 12H10, 13B05, 16T10, 34M15
  • Pages : 69-92
Nous donnons une introduction à une théorie de Galois des algèbres de modules artiniennes simples. À cet effet, nous rappelons tout d'abord les théories de Picard-Vessiot des équations différentielles ou aux différences, ainsi que la théorie de Galois différentielle d'Umemura et la théorie de Galois aux différences de Morikawa-Umemura. Nous esquissons ensuite les idées principales de l'unification, due à Amano et Masuoka, des théories de Picard-Vessiot des équations différentielles ou aux différences. Nous montrons alors comment la théorie de Galois différentielle d'Umemura et la théorie de Galois aux différences de Morikawa-Umemura peuvent être unifiées en utilisant les algèbres de modules artiniennes simples à la place, respectivement, des corps différentiels ou aux différences ; de plus, nous supprimons la restriction aux corps de caractéristique nulle. Nous comparons enfin cette théorie unifiée à la théorie de Picard-Vessiot d'Amano et Masuoka, dans le cas des extensions de Picard-Vessiot d'algèbres de modules artiniennes simples.
We give an introduction to a Galois theory of Artinian simple module algebras. To this end, we first recall the Picard-Vessiot theories of differential and difference equations, Umemura's differential Galois theory and Morikawa-Umemura's difference Galois theory. Then we sketch the main ideas of Amano and Masuoka's unification of the Picard-Vessiot theories of differential and difference extensions. We show how the differential Galois theory of Umemura and the difference Galois theory of Morikawa-Umemura can be unified using Artinian simple module algebras in lieu of differential or difference fields, respectively, and remove the restriction to fields of characteristic 0. Finally, we compare this unified theory to the Picard-Vessiot theory of Amano and Masuoka in the case of Picard-Vessiot extensions of Artinian simple module algebras.