SMF

Sujets concernant les polynômes hyperboliques à une variable

Topics on Hyperbolic Polynomials in One Variable

Vladimir Petrov Kostov
  • Année : 2011
  • Tome : 33
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 12D10, 26C10, 30C15
  • Nb. de pages : 140 + vi
  • ISBN : 978-2-85629-346-1
  • ISSN : 1272-3835
Le livre expose des résultats récents sur les polynômes hyperboliques (c'est-à-dire à racines réelles) à une variable réelle. Il contient l'étude de la stratification et des propriétés géométriques du domaine dans $\mathbb {R}^n$ des valeurs des coefficients $a_j$ pour lesquelles le polynôme $P:=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_n$ est hyperbolique. Des études semblables sont effectuées par rapport aux polynômes très hyperboliques, c'est-à-dire hyperboliques et ayant des primitives hyperboliques de tout ordre, et par rapport aux polynômes stablement hyperboliques, c'est-à-dire réels de degré $n$ et qui deviennent hyperboliques après multiplication par $x^k$ et addition d'un polynôme convenable de degré $k-1$. De nouveaux résultats sont présentés qui concernent la composition de Schur-Szegő de polynômes, en particulier hyperboliques, et de certaines fonctions entières. Pour $n\leq 5$, la question quel peut être l'arrangement des $n(n+1)/2$ racines des polynômes $P$, $P^{(1)}$, $\ldots $, $P^{(n-1)}$ est abordée à l'aide des ensembles discriminants $Res(P^{(i)},P^{(j)})=0$.
The book exposes recent results about hyperbolic polynomials in one real variable, i.e. having all their roots real. It contains a study of the stratification and the geometric properties of the domain in $\mathbb {R}^n$ of the values of the coefficients $a_j$ for which the polynomial $P:=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_n$ is hyperbolic. Similar studies are performed w.r.t. very hyperbolic polynomials, i.e. hyperbolic and having hyperbolic primitives of any order, and w.r.t. stably hyperbolic ones, i.e. real polynomials of degree $n$ which become hyperbolic after multiplication by $x^k$ and addition of a suitable polynomial of degree $k-1$. New results are presented concerning the Schur-Szegő composition of polynomials, in particular of hyperbolic ones, and of certain entire functions. The question what can be the arrangement of the $n(n+1)/2$ roots of the polynomials $P$, $P^{(1)}$, $\ldots $, $P^{(n-1)}$ is studied for $n\leq 5$ with the help of the discriminant sets $Res(P^{(i)},P^{(j)})=0$.
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