SMF

Introduction à la théorie de jauge

Introduction to gauge theory

Andrei Teleman
  • Année : 2012
  • Tome : 18
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 57R57, 32Q55, 32G13
  • Nb. de pages : 191
  • ISBN : 978-2-85629-322-5
  • ISSN : 1284-6090
L'idée fondamentale de la théorie de jauge (en mathématiques) est d'étudier les espaces de modules des solutions de certains systèmes d'équations à dérivées partielles sur une variété différentiable et d'obtenir des informations sur la variété (par exemple des informations sur son type de difféomorphisme) à partir de ces espaces de modules. En partant de cela on a obtenu les premiers résultats spectaculaires en topologie différentielle 4-dimensionnelle :
  • on a montré que la forme d'intersection d'une 4-variété différentiable orientée compacte est standard sur $\mathbb {Z}$ si cette forme est définie (positivement ou négativement) ce qui, d'après les résultats de Freedman concernant la ification des variétés topologiques, est totalement faux dans le contexte topologique ;
  • on a introduit et calculé explicitement les premiers invariants ${\mathcal C}^\infty $ en dimension 4, à savoir les invariants de Donaldson, à l'aide desquels on a trouvé les premières paires exotiques (paires de 4-variétés différentiables orientées, homéomorphes mais non-difféomorphes).
Le but de ce cours spécialisé est de donner une introduction solide à la théorie de jauge et d'en présenter en détail quelques applications importantes en topologie différentielle 4-dimensionnelle, notamment le théorème de Donaldson sur la forme d'intersection d'une 4-variété différentiable et la conjecture de Van de Ven sur la ification topologique-différentiable des surfaces complexes. Ce cours est essentiellement dédié à la théorie de Seiberg-Witten, qui est accessible aux étudiants, mais il contient aussi des éléments de la théorie de Donaldson : le groupe de jauge d'un fibré principal, les équations de Yang-Mills, les équations d'anti-dualité, des exemples d'espaces de modules de connexions de Yang-Mills. Il est accessible aux étudiants ayant suivi des cours de géométrie différentielle et de topologie algébrique, et qui ont des notions de base de l'analyse moderne (espaces de Sobolev, distributions, opérateurs différentiels).
The fundamental idea of mathematical gauge theory is to study the moduli spaces of solutions of certain systems of partial differential equations on a differentiable manifold, and to obtain information about this manifold (for instance information on its diffeomorphism type) using them. This idea brought the first spectacular results in 4-dimensional differential topology :
  • One was able to show that the intersection form of a compact, oriented, differentiable 4-manifold is standard over $\mathbb {Z}$ whenever it is (positively or negatively) defined. By Freedman's results on the ification of topological 4-manifolds, the analogue statement is definitely false in the topological framework.
  • One was able to introduce and compute explicitly the first ${\mathcal C}^\infty $-invariants in dimension 4, which, in turn, were used to discover the first exotic pairs (i.e. homeomorphic but not diffeomorphic pairs of differentiable 4-manifolds).
The goal of these lecture notes is to give a solid introduction to the mathematical gauge theory and to explain in detail some of its important applications in 4-dimensional differential topology, e.g. the Donaldson theorem concerning the intersection form of differentiable 4-manifolds, and the Van de Ven conjecture concerning the differential topological ification of complex surfaces. This book deals essentially with Seiberg-Witten theory, which is easily accessible to the students, but also contains elements of Donaldson theory : the gauge group of a principal fiber-bundle, Yang-Mills equations, ASD-equations, examples of moduli spaces of Yang-Mills equations. These lecture notes are fully accessible to the students who attended lectures on differentiable geometry and algebraic topology, and have a basic background in modern analysis (Sobolev spaces, distributions, differential operators).
Théorie de jauge, théorie de Seiberg-Witten, theorie de Donaldson, monopoles, Yang-Mills, espaces de modules, variétés différentiables, surfaces complexes
Gauge theory, Seiberg-Witten theory, Donaldson theory, monopoles, Yang-Mills, moduli spaces, differentiable manifolds, complex surfaces
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