SMF

Isomorphismes entre algèbres d'opérateurs de convolution

Isomorphisms of algebras of convolution operators

Eusebio GARDELLA & Hannes THIEL
Isomorphismes entre algèbres d'opérateurs de convolution
  • Consulter un extrait
  •  
                
  • Année : 2022
  • Fascicule : 5
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22D20, 43A15, 43A65, 46E30, 47L10
  • Pages : 1433-1471
  • DOI : 10.24033/asens.2520

Pour $p,q\in [1,\infty)$, nous étudions le problème d'isomorphisme pour les algèbres de convolution $L^p$ et $L^q$ associées à un groupe localement compact. S'il est bien connu qu'on ne peut en général pas retrouver le groupe à partir de son algèbre de von Neumann, nous montrons que c'est le cas pour les algèbres ${CV}_p(G)$ de $p$-convoluteurs et ${PM}_p(G)$ de $p$-pseudomesures, pour $p ≠ 2$. Plus généralement, nous montrons que si ${CV}_p(G)$ est isométriquement isomorphe à ${CV}_q(H)$ avec $p,q ≠ 2$, alors $G$ est nécessairement isomorphe à $H$ et $p$ et $q$ sont égaux ou conjugués. Cela implique qu'il n'y a pas de version $L^p$ de l'unicité, due à Connes, du facteur II$_1$ hyperfini. Ces résultats s'appliquent aussi aux algèbres ${PF}_p(G)$ de $p$-pseudofunctions, et généralisent un résultat classique de Wendel. Nous montrons également que d'autres résultats de rigidité $L^p$ pour les groupes peuvent être retrouvés et étendus à l'aide de notre résultat principal.

Nos travaux répondent à des questions initialement posées dans les travaux de Herz dans les années 1970. De plus, nos méthodes révèlent de nouvelles informations sur les algèbres de Banach en question. Comme application non triviale, nous vérifions la conjecture de réflexivité pour toutes les algèbres de Banach situées entre ${PF}_p(G)$ et ${CV}_p(G)$: si une telle algèbre est réflexive et moyennable, alors $G$ est fini.

For $p,q\in [1,\infty)$, we study the isomorphism problem for the $p$ and $q$-convolution algebras associated to locally compact groups. While it is well known that not every group can be recovered from its group von Neumann algebra, we show that this is the case for the algebras ${CV}_p(G)$ of $p$-convolvers and ${PM}_p(G)$ of $p$-pseudomeasures, for $p\neq 2$. More generally, we show that if ${CV}_p(G)$ is isometrically isomorphic to ${CV}_q(H)$, with $p,q ≠ 2$, then $G$ must be isomorphic to $H$ and $p$ and $q$ are either equal or conjugate. This implies that there is no $L^p$-version of Connes' uniqueness of the hyperfinite II$_1$-factor. Similar results apply to the algebra $\mathrm{PF}_p(G)$ of $p$-pseudofunctions, generalizing a classical result of Wendel. We also show that other $L^p$-rigidity results for groups can be easily recovered and extended using our main theorem.

Our results answer questions originally formulated in the work of Herz in the 70's. Moreover, our methods reveal new information about the Banach algebras in
question. As a non-trivial application, we verify the reflexivity conjecture for all Banach algebras lying between ${PF}_p(G)$ and $\mathrm{CV}_p(G)$: if any such algebra is reflexive and amenable, then $G$ is finite.

Espace $L^p$, algèbre de Banach, groupe localement compact, $p$-convoluteur, topologie préfaible, moyennabilité, réflexivité
$L^p$-space, Banach algebra, locally compact group, $p$-convolvers, weak${}^*$-topology, amenability, reflexivity

Électronique
Electronic
Prix public Public price 20.00 €
Prix membre Member price 14.00 €
Quantité
Quantity
- +