SMF

Jacobienne des courbes modulaires et opérateurs de Hecke

Jacobienne des courbes modulaires et opérateurs de Hecke

M. RAYNAUD
Jacobienne des courbes modulaires et opérateurs de Hecke
     
                
  • Année : 1991
  • Tome : 196-197
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 10D12, 14M40, 14K15, 14K30
  • Pages : 9-25
  • DOI : 10.24033/ast.71

Soit $N$ un entier $>0$. Nous considérons la courbe modulaire $X_0(N)_{\mathbb {Q}}$ de niveau $N$, définie sur $\mathbb {Q}$, et sa jacobienne $J_0(N)_{\mathbb {Q}}$. Il y a au moins deux façons naturelles d'étendre cette variété abélienne sur $\mathbb {Q}$ en un schéma en groupes sur $\mathbb {Z}$. On peut utiliser le modèle de Néron de $J_0(N)_{\mathbb {Q}}$ ou bien on peut d'abord, grâce à Drinfeld, étendre la courbe modulaire $X_0(N)_{\mathbb {Q}}$ en un modèle entier $X_0(N)$, puis introduire la jacobienne de ce modèle. Nous comparons ces deux schémas en groupes. En un nombre premier divisant exactement $N$ le modèle de Néron a une réduction semi-stable et nous calculons le groupe des composantes connexes de sa fibre fermée. De plus, nous rappelons comment étendre les correspondances de Hecke de $\mathbb {Q}$ à $\mathbb {Z}_p$. Pour terminer, nous démontrons un analogue de la propriété universelle de Néron pour les schémas en groupes quasi-finis et plats, analogue qui est valable pour les schémas en groupes semi-abéliens, purvu que la base ne soit trop ramifiée.

Let $N$ be a strictly positive integer. We consider the modular curve $X_0(N)_{\mathbb {Q}}$ of level $N$, defined over $\mathbb {Q}$ and its jacobian $J_0(N)_{\mathbb {Q}}$. There are at least two natural ways to extend this $\mathbb {Q}$-abelian variety into a group-scheme over $\mathbb {Z}$. We can use the Néron model of $J_0(N)_{\mathbb {Q}}$ or we can first extend the modular curve $X_0(N)_{\mathbb {Q}}$ into an integral model $X_0(N)$, thanks to Drinfeld, and then introduce its Jacobian. We compare those two groups-schemes. At a prime $p$ such that $p\|N$, the Néron model has semi-abelian reduction and we compute the group of connected components of the closed fiber. Further we recall how to extend the Hecke correspondences from $\mathbb {Q}$ to $\mathbb {Z}_p$. We end this lecture by an analogue of the Néron universal property for quasi-finite flat group-schemes, which is valid for semi-abelian group-schemes, when the base is not too ramified.



Des problèmes avec le téléchargement?Des problèmes avec le téléchargement?
Informez-nous de tout problème que vous avez...