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Jacobienne des courbes modulaires et opérateurs de Hecke

Jacobienne des courbes modulaires et opérateurs de Hecke

M. RAYNAUD
Jacobienne des courbes modulaires et opérateurs de Hecke
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  • Année : 1991
  • Tome : 196-197
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 10D12, 14M40, 14K15, 14K30
  • Pages : 9-25
  • DOI : 10.24033/ast.71

Soit N un entier >0. Nous considérons la courbe modulaire X0(N)Q de niveau N, définie sur Q, et sa jacobienne J0(N)Q. Il y a au moins deux façons naturelles d'étendre cette variété abélienne sur Q en un schéma en groupes sur Z. On peut utiliser le modèle de Néron de J0(N)Q ou bien on peut d'abord, grâce à Drinfeld, étendre la courbe modulaire X0(N)Q en un modèle entier X0(N), puis introduire la jacobienne de ce modèle. Nous comparons ces deux schémas en groupes. En un nombre premier divisant exactement N le modèle de Néron a une réduction semi-stable et nous calculons le groupe des composantes connexes de sa fibre fermée. De plus, nous rappelons comment étendre les correspondances de Hecke de Q à Zp. Pour terminer, nous démontrons un analogue de la propriété universelle de Néron pour les schémas en groupes quasi-finis et plats, analogue qui est valable pour les schémas en groupes semi-abéliens, purvu que la base ne soit trop ramifiée.

Let N be a strictly positive integer. We consider the modular curve X0(N)Q of level N, defined over Q and its jacobian J0(N)Q. There are at least two natural ways to extend this Q-abelian variety into a group-scheme over Z. We can use the Néron model of J0(N)Q or we can first extend the modular curve X0(N)Q into an integral model X0(N), thanks to Drinfeld, and then introduce its Jacobian. We compare those two groups-schemes. At a prime p such that pN, the Néron model has semi-abelian reduction and we compute the group of connected components of the closed fiber. Further we recall how to extend the Hecke correspondences from Q to Zp. We end this lecture by an analogue of the Néron universal property for quasi-finite flat group-schemes, which is valid for semi-abelian group-schemes, when the base is not too ramified.



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