Nous avons défini dans [?], [?] des $q$-analogues des dérivations étrangères pour les équations aux $q$-différences linéaires analytiques à pentes entières, et prouvé un théorème de densité (dans le groupe de Galois) et un théorème de liberté. Dans cet article, nous décrivons complètement le groupe fondamental sauvage et appliquons ce résultat au problème inverse en théorie de Galois des équations aux $q$-différences.