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Exposé Bourbaki 1074 : Construction de solutions pour des EDP sur-critiques à données initiales aléatoires

Exposé Bourbaki 1074 : Construction of solutions for supercritical PDEs with random initial data

Anne de BOUARD
Exposé Bourbaki 1074 : Construction de solutions pour des EDP sur-critiques à données initiales aléatoires
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  • Année : 2015
  • Tome : 367-368
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35A05, 35L71, 37L50.
  • Pages : 1-23
  • DOI : 10.24033/ast.941

Certaines équations aux dérivées partielles admettent un exposant de régularité critique en dessous duquel le problème de Cauchy est réputé mal posé, grâce à un argument d'échelle introduit pour la première fois par Ginibre et Velo. Dans certains cas cette conjecture a été démontrée (notamment par Lebeau d'une part et Christ-Colliander-Tao d'autre part, pour l'équation des ondes non linéaire ou l'équation de Schrödinger non linéaire). Nous expliquerons comment N. Burq et N. Tzvetkov construisent néanmoins des solutions locales (ou globales dans certains cas) pour de telles équations, pour presque toutes données initiales choisies aléatoirement dans une e de régularité inférieure à ce seuil de régularité critique.

Some partial differential equations admit a critical exponent of regularity under which the Cauchy problem is considered ill-posed, thanks to a scaling argument introduced for the first time by Ginibre and Velo. In some cases this conjecture was proved (e.g., for the semilinear wave equation or the nonlinear Schrödinger equation, by Lebeau or by Christ-Colliander and Tao). We will explain how N. Burq and N. Tzvetkov however build local solutions (which are global in some cases) for such equations, for almost all initial data randomly selected, from a of regularity below the threshold of critical regularity.

Problèmes bien posés, séries aléatoires, équations des ondes.
Well-posedness, random series, wave equations.

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