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Exposé Bourbaki 1075 : Lemme de Margulis à courbure de Ricci minorée

Exposé Bourbaki 1075 : Margulis lemma on manifolds with Ricci curvature bounded below

Gilles COURTOIS
Exposé Bourbaki 1075 : Lemme de Margulis à courbure de Ricci minorée
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  • Année : 2015
  • Tome : 367-368
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53C20.
  • Pages : 25-56
  • DOI : 10.24033/ast.942

Le lemme de Margulis affirme qu'il existe une constante strictement positive $\mu (n)$ telle que pour toute variété riemannienne $(M,g)$ de dimension $n$ et de courbure sectionnelle comprise entre $-1$ et $0$, et tout point $x$ de $M$, le sous-groupe du groupe fondamental de $M$ en $x$ engendré par les lacets de longueur inférieure à $\mu (n)$ contient un sous-groupe nilpotent d'indice fini, majoré par une constante $C(n)$. La démonstration de ce lemme résulte, dans le cas homogène, d'une observation très simple sur les commutateurs de matrices et s'y ramène, dans le cas riemannien, en considérant l'holonomie le long des lacets. Le but de cet exposé est d'expliquer la démonstration, par V. Kapovitch et B. Wilking, du lemme de Margulis lorsque $(M,g)$ appartient à l'ensemble $\mathcal {M}(n)$ des variétés riemanniennes de dimension $n$ à courbure de Ricci minorée par $-1$. Sous cette seule hypothèse de borne inférieure sur la courbure de Ricci, la preuve est de nature profondément différente : elle repose sur des travaux de J. Cheeger et T. Colding concernant la structure des espaces métriques au bord de $\mathcal {M}(n)$.

The Margulis lemma says that there exist positive constants $\mu (n)$ and $C(n)$ such that, for any $n$-dimensional Riemannian manifold $M$ whose sectional curvature satisfies $-1 \leq K \leq 0$ and any point $x\in M$, the subgroup of the fundamental group of $M$ generated by loops at $x$ whose length is less than $\mu (n)$ contains a nilpotent subgroup of index less than $C(n)$. V. Kapovitch and B. Wilking have proved a generalized Margulis lemma with a lower bound on the Ricci curvature. Their proof relies on the Cheeger-Colding theory about the structure of metric spaces which are located on the boundary of the set of Riemannian manifolds with Ricci curvature bounded below.

Lemme de Margulis, courbure de Ricci presque positive.
Margulis lemma, almost positive Ricci curvature.

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