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Sous-algèbres de Cartan de produit amalgamé de facteurs de type II$_1$

Cartan subalgebras of amalgamated free product II$_1$ factors

Adrian Ioana
Sous-algèbres de Cartan de produit amalgamé de facteurs de type II$_1$
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  • Année : 2015
  • Tome : 48
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 46L10, 46L36, 37A20.
  • Pages : 71-130
  • DOI : 10.24033/asens.2239
Nous étudions les sous-algèbres de Cartan dans le contexte du produit amalgamé de facteurs de type II$_1$ et nous obtenons plusieurs résultats d'unicité et de non-existence. Nous démontrons que, si $\Gamma $ appartient à une grande e de produits amalgamés de groupes (qui contient le produit libre de deux groupes infinis), alors tout facteur de type II$_1$ associé à une action libre ergodique de $\Gamma $ a une sous-algèbre de Cartan unique, à conjugaison unitaire. Nous démontrons aussi que, si $\mathcal R=\mathcal R_1*\mathcal R_2$ est le produit libre de toute relation d'équivalence ergodique non-hyperfinie dénombrable, alors le facteur de type II$_1$ $L(\mathcal R)$ a une sous-algèbre de Cartan unique, à conjugaison unitaire. Enfin, nous démontrons que le produit libre $M = M_1 * M_2$ de tout facteur de type II$_1$ n'a pas de sous-algèbre de Cartan. Plus généralement, nous démontrons que, si $A\subset M$ est une sous-algèbre de von Neumann amenable et non-atomique et si $P\subset M$ désigne l'algèbre engendrée par son normalisateur, alors soit $P$ est amenable, soit un coin de $P$ peut être unitairement conjugué dans $M_1$ ou $M_2$.
We study Cartan subalgebras in the context of amalgamated free product II$_1$ factors and obtain several uniqueness and non-existence results. We prove that if $\Gamma $ belongs to a large of amalgamated free product groups (which contains the free product of any two infinite groups) then any II$_1$ factor $L^{\infty }(X)\rtimes \Gamma $ arising from a free ergodic probability measure preserving action of $\Gamma $ has a unique Cartan subalgebra, up to unitary conjugacy. We also prove that if $\mathcal R=\mathcal R_1*\mathcal R_2$ is the free product of any two non-hyperfinite countable ergodic probability measure preserving equivalence relations, then the II$_1$ factor $L(\mathcal R)$ has a unique Cartan subalgebra, up to unitary conjugacy. Finally, we show that the free product $M=M_1*M_2$ of any two II$_1$ factors does not have a Cartan subalgebra. More generally, we prove that if $A\subset M$ is a diffuse amenable von Neumann subalgebra and $P\subset M$ denotes the algebra generated by its normalizer, then either $P$ is amenable, or a corner of $P$ can be unitarily conjugate into $M_1$ or $M_2$.
Facteur de type II$_1$, sous-algèbre de Cartan, produit amalgamé.
II$_1$ factor, Cartan subalgebra, amalgamated free product.
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