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L'équation de Fermat généralisée

The generalized Fermat equation

Frits BEUKERS
L'équation de Fermat généralisée
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  • Année : 2012
  • Tome : 36
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11D41; 11G30
  • Pages : 119-149

Cet article étudie les généralisations de l'équation de Fermat $x^n + y^n = z^n$. Dès la démonstration du "grand théorème de Fermat" par Wiles et Taylor, on s'est démandé ce qu'il adviendrait si les exposants dans l'équation à trois termes étaient choisis différemment. Ou si l'on plaçait d'autres coefficients que $1$ devant les monômes. Nous discutons la réduction de la résolution de telles équations à la détermination des points rationnels d'un ensemble fini de courbes algébriques (définies sur $\mathbb{Q}$ si possible), puis résolvons complètement l'équation d'exposants $2, 3, 5$.

This article will be devoted to generalisations of Fermat's equation $x^n+y^n=z^n$. Very soon after the Wiles and Taylor proof of Fermat's Last Theorem, it was wondered what would happen if the exponents in the three term equation would be chosen differently. Or if coefficients other than 1 would be chosen. We discuss the reduction of the resolution of such equations to the determination of rational points on finite sets of algebraic curves (over $\mathbb Q$ if possible) and explain the full resolution of the particular equation with exponents $2,3,5$.

Théorème de Fermat, équation de Fermat généralisée, revêtement galoisien, théorie des invariants
Fermat's last theorem, generalized Fermat equation, Galois cover, invariant theory