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Quelques remarques sur le calcul des point de Heegner

Some remarks on Heegner point computations

Mark WATKINS
Quelques remarques sur le calcul des point de Heegner
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  • Année : 2012
  • Tome : 36
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G05, 11G40, 14G05
  • Pages : 81-97

Nous donnons une vue d'ensemble de la théorie des points de Heegner pour les courbes elliptiques, puis décrivons diverses idées nouvelles qui permettent le calcul des points rationnels des courbes de rang 1. En particulier, nous discutons l'idée de Cremona (suivant Silverman) de reconnaître un point rationnel via sa hauteur, l'idée de Delaunay d'utiliser les involutions d'Atkin-Lehner lors de la sélection des paramètres auxiliaires, et l'idée d'Elkies combinant descente et réduction de réseau, qui peuvent diminuer drastiquement la précision requise pour mener à bien le calcul.

We give an overview of the theory of Heegner points for elliptic curves, and then describe various new ideas that can be used in the computation of rational points on rank 1 elliptic curves. In particular, we discuss the idea of Cremona (following Silverman) regarding recovery a rational point via knowledge of its height, the idea of Delaunay regarding the use of Atkin-Lehner involutions in the selection of auxiliary parameters, and the idea of Elkies regarding descent and lattice reduction that can result in a large reduction in the needed amount of real-number precision used in the computation.

Coubes elliptiques, points de Heegner, descente, réduction de réseaux
Elliptic curves, Heegner points, descent, lattice reduction