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Descente sur les courbes elliptiques

Descent on elliptic curves

Michael STOLL
Descente sur les courbes elliptiques
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  • Année : 2012
  • Tome : 36
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G05, 14H52
  • Pages : 151-179

Soit $E$ une courbe elliptique sur $\mathbb Q$ (ou, plus généralement, sur un corps de nombres quelconque). On lui associe, d'une part, le groupe abélien de type fini $E(\mathbb Q)$, et d'autre part, le groupe de Shafarevich-Tate $III$ $(\mathbb Q, E)$. La descente est une méthode générale pour obtenir des informations sur ces deux objets - idéalement des informations complètes sur le groupe de Mordell-Weil $E(\mathbb Q)$, et typiquement des informations partielles sur $III$ $(\mathbb Q, E)$. Une descente calcule (pour un $n > 1$ donné) le $n$-groupe de Selmer $\operatorname{Sel}^{(n)}(\mathbb Q, E)$, qui se trouve dans une suite exacte \[ 0 \longrightarrow E(\mathbb Q)/nE(\mathbb Q) \longrightarrow \operatorname{Sel}^{(n)}(\mathbb Q, E) \longrightarrow III (\mathbb Q, E)[n] \longrightarrow 0 \] et qui contient donc des informations combinées sur $E(\mathbb Q)$ et sur $III$ $(\mathbb Q, E)$. Le sujet principal que de ce mini-cours est de rendre explicite cette descente, et en particulier, de représenter les éléments du groupe de Selmer comme des courbes couvrant~$E$. Ces représentations explicites sont utiles à deux égards : elles permettent de chercher des points rationnels (en cas de succès, l'élément est dans l'image de $E(\mathbb Q)/n E(\mathbb Q)$); et elles fournissent un point de départ pour effectuer des descentes d'ordre plus élevé (par exemple, une $p^2$-descente suivant une $p$-descente).

Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb Q$ (or, more generally, a number field). Then on the one hand, we have the finitely generated abelian group $E(\mathbb Q)$, on the other hand, there is the Shafarevich-Tate group $III$ $(\mathbb Q, E)$. Descent is a general method of getting information on both of these objects - ideally complete information on the   Mordell-Weil group $E(\mathbb Q)$, and usually partial information on $III (\mathbb Q, E)$. What descent does is to compute (for a given $n>1$) the $n$-Selmer group $\operatorname{Sel}^{(n) (\mathbb Q, E)$; it sits in an exact sequence \[ 0 \longrightarrow E(\mathbb Q)/nE(\mathbb Q) \longrightarrow \operatorname{Sel}^{(n)}(\mathbb Q, E) \longrightarrow III(\mathbb Q, E)[n] \longrightarrow 0 \] and thus contains combined information on $E(\mathbb Q)$ and $III(\mathbb Q, E)$.
 
The main problem I want to discuss in this "short course'' is how to actually do this explicitly, with some emphasis on obtaining representations of the elements of the Selmer group as explicit covering spaces of $E$. These explicit representations are useful in two respects - they allow a search for rational points (if successful, this proves that the element is in the image of the left hand map above), and they provide the starting point for performing "higher'' descents e.g., extending a $p$-descent computation to a $p^2$-descent computation).

Courbes elliptiques, descente, groupe de Selmer
Elliptic curves, descent, Selmer group