Soit ${X}$ un champ algébrique, localement de présentation finie et quasi-séparé sur un espace algébrique quasi-séparé, avec stabilisateurs affines. Nous montrons que tout point de ${X}$, avec stabilisateur linéairement réductif, possède un voisinage étale qui est un champ quotient. Ce résultat généralise les travaux précédents des auteurs (champs sur un corps algébriquement clos) et d'Abramovich, Olsson et Vistoli (champs avec inertie finie).  En outre, nous obtenons plusieurs
résultats fondamentaux qui sont nouveaux même sur un corps.  Ceux-ci comprennent divers résultats de complétion cohérente d'un champ algébrique le long d'un sous-champ fermé, ainsi que d'effectivité de déformations formelles d'un champ algébrique. Enfin, nous fournissons plusieurs applications de ces résultats, notamment des généralisations au cadre relatif du théorème de Sumihiro sur les actions de tores et du théorème du "slice étale" de Luna.