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Métriques presque d'Einstein ACH, renormalisation de volume, et un invariant pour les variétés de contact

Approximately Einstein ACH metrics, volume renormalization, and an invariant for contact manifolds

Neil Seshadri
Métriques presque d'Einstein ACH, renormalisation de volume, et un invariant pour les variétés de contact
     
                
  • Année : 2009
  • Fascicule : 1
  • Tome : 137
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53D10; 53B05, 53C25
  • Pages : 63-91
  • DOI : 10.24033/bsmf.2569
Pour toute variété lisse compacte $M$ munie d'une structure de contact $H$ et d'une structure presque CR partiellement intégrable $J$, nous démontrons l'existence et l'unicité, à des termes d'erreur de degré supérieur et action de difféomorphisme près, d'une métrique presque d'Einstein ACH (asymptotiquement complexe hyperbolique) $g$ sur $M\times (-1, 0)$. Nous considérons le développement asymptotique, en des puissances d'une fonction définissante spéciale, du volume de $M\times (-1,0)$ par rapport à $g$. Nous démontrons que le coefficient du terme logarithmique est indépendant de $J$ (et du choix de la forme de contact $\theta $) ; par conséquent, c'est un invariant de la structure de contact $H$. La métrique presque d'Einstein ACH $g$ est une généralisation de la métrique presque d'Einstein kählérienne complète $g_{+}$ de Fefferman sur les domaines strictement pseudo-convexes. Elle a également un comportement asymptotique similaire au bord. Le présent travail démontre que le coefficient du terme logarithmique CR-invariant dans le développement asymptotique du volume de $g_{+}$ est, en fait, un invariant de contact. Nous traitons également quelques implications possibles pour la $Q$-courbure CR. La méthode de trouver $g$ par le biais de séries formelles comporte une obstruction d'ordre fini. Nous démontrons que cette obstruction est partiellement donnée par une $1$-forme sur $H^{*}$. Ceci est un résultat nouveau particulier au contexte partiellement intégrable.
To any smooth compact manifold $M$ endowed with a contact structure $H$ and partially integrable almost CR structure $J$, we prove the existence and uniqueness, modulo high-order error terms and diffeomorphism action, of an approximately Einstein ACH (asymptotically complex hyperbolic) metric $g$ on $M\times (-1,0)$. We consider the asymptotic expansion, in powers of a special defining function, of the volume of $M\times (-1,0)$ with respect to $g$ and prove that the log term coefficient is independent of $J$ (and any choice of contact form $\theta $), i.e., is an invariant of the contact structure $H$. The approximately Einstein ACH metric $g$ is a generalisation of, and exhibits similar asymptotic boundary behaviour to, Fefferman's approximately Einstein complete Kähler metric $g_+$ on strictly pseudoconvex domains. The present work demonstrates that the CR-invariant log term coefficient in the asymptotic volume expansion of $g_+$ is in fact a contact invariant. We discuss some implications this may have for CR $Q$-curvature. The formal power series method of finding $g$ is obstructed at finite order. We show that part of this obstruction is given as a one-form on $H^*$. This is a new result peculiar to the partially integrable setting.
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ACH metric, approximately Einstein metric, volume renormalization, contact manifold, almost CR structure, CR $Q$-curvature, CR obstruction tensor


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