Pour toute variété lisse compacte $M$ munie d'une structure de contact $H$ et d'une structure presque CR partiellement intégrable $J$, nous démontrons l'existence et l'unicité, à des termes d'erreur de degré supérieur et action de difféomorphisme près, d'une métrique presque d'Einstein ACH (asymptotiquement complexe hyperbolique) $g$ sur $M\times (-1, 0)$. Nous considérons le développement asymptotique, en des puissances d'une fonction définissante spéciale, du volume de $M\times (-1,0)$ par rapport à $g$. Nous démontrons que le coefficient du terme logarithmique est indépendant de $J$ (et du choix de la forme de contact $\theta $) ; par conséquent, c'est un invariant de la structure de contact $H$. La métrique presque d'Einstein ACH $g$ est une généralisation de la métrique presque d'Einstein kählérienne complète $g_{+}$ de Fefferman sur les domaines strictement pseudo-convexes. Elle a également un comportement asymptotique similaire au bord. Le présent travail démontre que le coefficient du terme logarithmique CR-invariant dans le développement asymptotique du volume de $g_{+}$ est, en fait, un invariant de contact. Nous traitons également quelques implications possibles pour la $Q$-courbure CR. La méthode de trouver $g$ par le biais de séries formelles comporte une obstruction d'ordre fini. Nous démontrons que cette obstruction est partiellement donnée par une $1$-forme sur $H^{*}$. Ceci est un résultat nouveau particulier au contexte partiellement intégrable.