SMF

Modules de déformation quantification

Deformation quantization modules

Masaki Kashiwara, Pierre Schapira
  • Année : 2012
  • Tome : 345
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53D55, 35A27, 19L10, 32C38
  • Nb. de pages : xi+147
  • ISBN : 978-2-85629-345-4
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.902
Sur une variété complexe $(X,\mathcal {O}_X)$, un $\mathrm {DQ}$-algebroide $\mathcal {A}_X$ est un champ d'algébroides localement équivalent au faisceau $\mathcal {O}_X[[\hbar ]]$ muni d'un star-produit et un $\mathrm {DQ}$-module est un objet de la catégorie dérivée $\operatorname {Der}^b(\mathcal {A}_X)$. Les résultats principaux sont :
  • la notion de $\mathrm {DQ}$-module cohomologiquement complet qui permet de déduire diverses propriétés d'un tel module $\mathcal {M}$ des propriétés correspondantes du $\mathcal {O}_X$-module $\mathbb {Z}_X{\mathop {\mathbin {\otimes _{\raise 1.5ex\hbox to-.1em{}{##1}}}}\limits ^{\rm L}}_{##1}[{\mathbb {Z}_X[\hbar ]}]\mathcal {M}$,
  • un théorème de finitude qui assure que la convolution de deux $\mathrm {DQ}$-noyaux cohérents définis sur des variétés $X_i\times X_j$ ($i=1,2,j=i+1$), vérifiant certaines hypothèses de propreté, est cohérent (un théorème de Grauert non commutatif),
  • la construction du complexe dualisant pour les $\mathrm {DQ}$-modules cohérents et un théorème de dualité qui assure que la dualité commute avec la convolution (un théorème de Serre non commutatif),
  • la construction de la e de Hochschild des $\mathrm {DQ}$-modules cohérents et le théorème qui assure que la e de Hochschild commute avec la convolution,
  • dans le cas commutatif, le lien entre es de Hochschild et es de Chern et de Euler,
  • dans le cas symplectique, la constructibilité (et la perversité) du complexe des solutions d'un $\mathrm {DQ}$-module holonome dans un autre, après localisation en $\hbar $.
Ces notes peuvent donc être considérées à la fois comme une introduction à la géométrie analytique complexe non commutative et à l'étude des systèmes microdifférentiels sur les variétés de Poisson complexes.
On a complex manifold $(X,\mathcal {O}_X)$, a $\mathrm {DQ}$-algebroid $\mathcal {A}_X$ is an algebroid stack locally equivalent to the sheaf $\mathcal {O}_X[[\hbar ]]$ endowed with a star-product and a $\mathrm {DQ}$-module is an object of the derived category $\operatorname {Der}^b(\mathcal {A}_X)$. The main results are :
  • the notion of cohomologically complete $\mathrm {DQ}$-modules which allows one to deduce various properties of such a module $\mathcal {M}$ from the corresponding properties of the $\mathcal {O}_X$-module $\mathbb {Z}_X{\mathop {\mathbin {\otimes _{\raise 1.5ex\hbox to-.1em{}{##1}}}}\limits ^{\rm L}}_{##1}[{\mathbb {Z}_X[\hbar ]}]\mathcal {M}$,
  • a finiteness theorem, which asserts that the convolution of two coherent $\mathrm {DQ}$-kernels defined on manifolds $X_i\times X_j$ ($i=1,2,j=i+1$), satisfying a suitable properness assumption, is coherent (a non commutative Grauert's theorem),
  • the construction of the dualizing complex for coherent $\mathrm {DQ}$-modules and a duality theorem which asserts that duality commutes with convolution (a non commutative Serre's theorem),
  • the construction of the Hochschild of coherent $\mathrm {DQ}$-modules and the theorem which asserts that Hochschild commutes with convolution,
  • in the commutative case, the link between Hochschild es and Chern and Euler es,
  • in the symplectic case, the constructibility (and perversity) of the complex of solutions of an holonomic $\mathrm {DQ}$-module into another one after localizing with respect to $\hbar $.
Hence, these Notes could be considered both as an introduction to non commutative complex analytic geometry and to the study of microdifferential systems on complex Poisson manifolds.
Déformation quantification, DQ-modules, variétés de Poisson complexes, champs d'algebroides, convolution de noyaux, complexes dualisants, homologie de Hochschild, es d'Euler, modules holonomes
Deformation quantization, DQ-modules, complex Poisson manifolds, algebroid stacks, convolution of kernels, dualizing complexes, Hochschild homology, Euler es, holonomic modules
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