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Motifs des tubes analytiques rigides et faisceaux cycles proches motiviques

Motives of rigid analytic tubes and nearby motivic sheaves

Joseph Ayoub, Florian Ivorra, Julien Sebag
Motifs des tubes analytiques rigides et faisceaux cycles proches motiviques
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  • Année : 2017
  • Tome : 50
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14B20, 14C15, 14F42, 14G22, 32S30
  • Pages : 1335-1382
  • DOI : 10.24033/asens.2347
Soient $k$ un corps de caractéristique nulle, $R=k[[ t ]]$ l'anneau des séries formelles sur $k$ et $K=k((t))$ son corps des fractions. Soit $X$ un $R$-schéma de type fini génériquement lisse. Soient $\mathcal X$ la complétion $t$-adique de $X$ et $\mathcal X_{\eta }$ sa fibre générique. Soit $Z\subset X_\sigma $ un sous-ensemble localement fermé de $X$. Dans cet article, nous lions le motif rigide du tube $]Z[$ de $Z$ dans $\scr X_\eta $ à la restriction à $Z$ du faisceau cycles proches motivique associé au $R$-schéma $X$. Le théorème ??, qui est notre résultat principal, peut être interprété comme un analogue motivique d'un théorème de Berkovich. Comme application, étant donné un point rationnel $x\in X_{\sigma }$, nous obtenons une égalité dans un anneau de Grothendieck de motifs adéquat entre la fibre de Milnor motivique de Denef-Loeser en $x$ et la e du motif rigide de la fibre de Milnor analytique de Nicaise-Sebag en $x$.
Let $k$ be a field of characteristic zero, $R=k[[ t ]] $ the ring of formal power series and $K=k(( t)) $ its fraction field. Let $X$ be a finite type $R$-scheme with smooth generic fiber. Let $\mathcal X$ be the $t$-adic completion of $X$ and $\mathcal X_{\eta }$ the generic fiber of $\mathcal X$. Let $Z\subset X_\sigma $ be a locally closed subset of the special fiber of $X$. In this article, we establish a relation between the rigid motive of $]Z[$ (the tube of $Z$ in $\mathcal X_\eta $) and the restriction to $Z$ of the nearby motivic sheaf associated with the $R$-scheme $X$. Our main result, Theorem ??, can be interpreted as a motivic analog of a theorem of Berkovich. As an application, given a rational point $x\in X_{\sigma }$, we obtain an equality, in a suitable Grothendieck ring of motives, between the motivic Milnor fiber of Denef-Loeser at $x$ and the of the rigid motive of the analytic Milnor fiber of Nicaise-Sebag at $x$.
Faisceaux motiviques, faisceaux cycles proches motiviques, motifs rigides, tubes, fibre de Milnor motivique, fibre de Milnor analytique
Motivic sheaves, nearby motivic sheaves, rigid motives, tubes, analytic Milnor fiber, motivic Milnor fiber
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