Dans cet article, nous démontrons qu'un processus ponctuel ergodique avec des moments de tous ordres, dirigé par une transformation préservant une mesure infinie qui vérifie certaines propriétés, est nécessairement une superposition de processus de Poisson décalés. Ce résultat de rigidité a de nombreuses implications en termes de couplages et de disjonction pour la suspension de Poisson associée. En particulier, nous démontrons que ses autocouplages ergodiques sont des couplages poissoniens, obtenant ainsi un analogue, dans le contexte poissonien, de la propriété GAG des systèmes dynamiques gaussiens.