Étant donnés un corps de nombres $K/\mathbb Q $ et un polynôme $P \in \mathbb Q [ t ]$, dont toutes les racines sont dans $\mathbb Q $, soit $X $ la variété définie par l'équation $\mathbf N _K ( \mathbf x ) = P (t )$. En combinant la combinatoire additive avec la descente, nous montrons que l'obstruction Brauer-Manin est le seul obstacle au principe de Hasse et à l'approximation faible sur un modèle projectif et lisse de $X$.