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Opérateurs de Capelli quadratiques et polynômes d'Okounkov

Quadratic Capelli operators and Okounkov polynomials

Siddharta SAHI, Hadi SALMASIAN
Opérateurs de Capelli quadratiques et polynômes d'Okounkov
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  • Année : 2019
  • Fascicule : 4
  • Tome : 52
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 05E05, 22E46
  • Pages : 867-890
  • DOI : 10.24033/asens.2399

Soit $Z$ le cône symétrique de matrices de tailles $r\times r$ hermitiennes positives sur une algèbre de division réelle $ F $. Alors $Z$ admet une famille naturelle d'opérateurs différentiels invariants --- les Opérateurs de Capelli $C_\lambda $ --- indexés par des partitions $\lambda$ de longueur au plus $r$, dont les valeurs propres sont des spécialisations de polynômes d'interpolation Knop-Sahi.

Dans cet article, nous considérons une double fibration $ Y \longleftarrow X \longrightarrow Z $ où $ Y $ est la variété grassmanienne des sous-espaces de dimension $r$ de $F^n$ avec $n\geq 2r$. En utilisant cela, nous construisons une famille d'opérateurs différentiels invariants $ D_{\lambda, s}$ sur $ Y $ que nous appelons opérateurs de Capelli quadratiques. Notre résultat principal montre que les valeurs propres des $ D_{\lambda, s} $ sont des spécialisations de polynômes d'interpolation Okounkov.

Let $Z$ be the symmetric cone of $r \times r$ positive definite Hermitian matrices over a real division algebra $F$. Then $Z$ admits a natural family of invariant differential operators---the Capelli operators $C_\lambda$---indexed by partitions $\lambda$ of length at most $r$, whose eigenvalues are specializations of Knop-Sahi interpolation polynomials.

In this paper we consider a double fibration  
 $Y \longleftarrow X \longrightarrow Z$ where $Y$ is the Grassmanian of $r$-dimensional subspaces of $F^n $ with $n \geq 2r$. Using this  we construct a family of invariant differential operators $D_{\lambda,s}$ on $Y$ that we refer to as quadratic Capelli operators. Our main result shows that the eigenvalues of the $D_{\lambda,s}$ are specializations of  Okounkov interpolation polynomials.

Variétés grassmanniennes, homomorphisme de Harish-Chandra, polynômes d'Okounkov, opérateurs de Capelli quadratiques, cônes symétriques.
Grassmannian manifolds, Harish-Chandra homomorphism, Okounkov polynomials, quadratic Capelli operators, symmetric cones.
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