SMF

Monodromie et fusion de Vinberg pour la dégénérescence principale de l'espace de $G$-torseurs

Monodromy and Vinberg fusion for the principal degeneration of the space of $G$-bundles

Simon SCHIEDER
Monodromie et fusion de Vinberg pour la dégénérescence principale de l'espace de $G$-torseurs
  • Consulter un extrait
  • Année : 2019
  • Fascicule : 4
  • Tome : 52
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 4D24, 14D20, 14D23, 11R39, 14H60, 16T05, 14D05, 14D06
  • Pages : 821-866
  • DOI : 10.24033/asens.2398

Nous étudions la géométrie et les singularités de la direction principale de la dégénérescence de Drinfeld-Lafforgue-Vinberg de l'espace moduli de $G$-torseurs $Bun_G$ pour un groupe réductif arbitraire $G$, et leur relation avec le groupe dual de Langlands $\check{G}$.

L'article est constitué de deux parties.
Dans la première partie, nous étudions l'action de monodromie sur les cycles proches de la dégénérescence principale de $Bun_G $ et la relions au groupe dual de Langlands $\check G$. Nous décrivons la filtration par monodromie sur les cycles proches et généralisons les résultats de [37] du cas $G = SL_2$ au cas d'un groupe réductif arbitraire $G$. Notre description est donnée en termes de combinatoire du groupe dual de Langlands $\check G$ et de généralisations des oscillateurs de Picard-Lefschetz trouvés dans [37].
Nos preuves dans la première partie utilisent certains modèles locaux pour la dégénérescence principale de $Bun_G$ dont la géométrie est étudiée dans la seconde partie.

Nos modèles locaux fournissent deux types de dégénérescence des espaces Zastava; ces dégénérations sont de nature très différente, et équipent les espaces de Zastava avec l'analogue géométrique d'une structure d'algèbre de Hopf. La première dégénérescence correspond à la fusion Beilinson-Drinfeld des diviseurs. La deuxième dégénérescence est nouvelle et correspond à ce que nous appelons Vinberg fusion: Elle est obtenue non pas par des diviseurs dégénérés sur la courbe, mais en dégénérant le groupe $G$ via le semigroupe de Vinberg. De plus, au niveau de la cohomologie, la dégénérescence correspondant à la fusion de Vinberg donne lieu à une structure de algebra, tandis que la dégénérescence correspondant à la fusion de Beilinson-Drinfeld donne lieu à une structure de coalgebra; la compatibilité entre les deux dégénérations donne l'axiome de l'algèbre de Hopf.

 

We study the geometry and the singularities of the principal direction of the Drinfeld-Lafforgue-Vinberg degeneration of the moduli space of $G$-bundles $Bun_G$ for an arbitrary reductive group $G$, and their relationship to the Langlands dual group $\check{G}$ of $G$.

The article consists of two parts.
In the first and main part, we study the monodromy action on the nearby cycles sheaf along the principal degeneration of $Bun_G$ and relate it to the Langlands dual group $\check G$. We describe the weight-monodromy filtration on the nearby cycles and generalize the results of [37] from the case $G=SL_2$ to the case of an arbitrary reductive group $G$. Our description is given in terms of the combinatorics of the Langlands dual group $\check G$ and generalizations of the Picard-Lefschetz oscillators found in [37].
Our proofs in the first part use certain local models for the principal degeneration of $Bun_G$ whose geometry is studied in the second part.

Our local models simultaneously provide two types of degenerations of the Zastava spaces; these degenerations are of very different nature, and together equip the Zastava spaces with the geometric analog of a Hopf algebra structure. The first degeneration corresponds to the usual Beilinson-Drinfeld fusion of divisors on the curve. The second degeneration is new and corresponds to what we call \textit{Vinberg fusion}: it is obtained not by degenerating divisors on the curve, but by degenerating the group $G$ via the Vinberg semigroup. Furthermore, on the level of cohomology the degeneration corresponding to the Vinberg fusion gives rise to an algebra structure, while the degeneration corresponding to the Beilinson-Drinfeld fusion gives rise to a coalgebra structure; the compatibility between the two degenerations yields the Hopf algebra axiom.

Théorie géométrique des représentations, programme géométrique de Langlands, espaces de moduli de $G$-torseurs, cycles proches, théorie de Picard-Lefschetz, théorie de la monodromie, dualité de Langlands.
Geometric representation theory, geometric Langlands program, moduli spaces of $G$-bundles, nearby cycles, Picard-Lefschetz theory, weight-monodromy theory, Vinberg semigroup, Langlands duality.
Prix
Adhérent 14 €
Non-Adhérent 20 €
Quantité
- +