Nous montrons que les équations de Navier-Stokes incompressibles dans $R^3$ possèdent une unique solution axisymétrique sans swirl lorsque le tourbillon initial est un filament circulaire dont le nombre de Reynolds de circulation peut être arbitrairement grand. L'accent est mis ici sur l'unicité, car l'existence a déjà été établie dans [10].  La difficulté principale à surmonter est que, pour de tels écoulements, le régime non linéaire ne peut être décrit par une théorie de perturbation standard, même pour des temps petits. Les solutions que nous construisons sont des exemples typiques d'anneaux tourbillonnaires visqueux, et peuvent être considérées comme l'analogue axisymétrique des tourbillons autosimilaires de Lamb-Oseen que l'on rencontre dans les écoulements plans. Notre méthode fournit le terme dominant d'un développement asymptotique de la solution à temps petits, la viscosité étant fixée, et peut en principe se généraliser à des ordres plus élevés et donner ainsi une justification complète, dans le cadre axisymétrique, des développements asymptotiques formels que l'on trouve dans la littérature [7].