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Exposé Bourbaki 1020 : La classification des groupes $p$-compacts d'après Andersen, Grodal, Möller, et Viruel

Exposé Bourbaki 1020 : The classification of $p$-compact groups according to Andersen, Grodal, Möller, and Viruel

Bob OLIVER
Exposé Bourbaki 1020 : La classification des groupes $p$-compacts d'après Andersen, Grodal, Möller, et Viruel
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  • Année : 2011
  • Tome : 339
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 55R35, 55P35, 20F55
  • Pages : 239-257

Un groupe $p$-compact ($p$ un nombre premier fixé) est la donnée d'un espace $X$ dont la cohomologie modulo $p$ est finie et d'un "espace classifiant" $BX$ qui est "$p$-complet".  Le prototype d'un tel objet est le $p$-complété d'un groupe de Lie compact connexe. Dwyer et Wilkerson ont montré (vers 1990) que les groupes $p$-compacts connexes possèdent des "tores maximaux" et des "groupes de Weyl", ces derniers étant engendrés par des pseudo-réflexions $p$-adiques. La liste de tous les groupes engendrés par des pseudo-réflexions $p$-adiques a été faite par Clarke et Ewing dans les années 1970. Ce qu'ont montré les quatre auteurs cités dans le titre est qu'il y a une correspondance bijective entre ces groupes de pseudo-réflexions (à isomorphisme près) et les groupes $p$-compacts connexes (à homotopie près), au moins pour $p$ impair ; pour $p=2$, la correspondance qu'ils établissent est un peu plus subtile.

A $p$-compact group (for $p$ a fixed prime) consists of a space $X$ whose cohomology modulo $p$ is finite, and a ``classifying space'' $BX$ which is ``$p$\yh-complete''.  The motivating example of such an object is the $p$-completion of a compact connected Lie group.  Dwyer and Wilkerson showed (in about 1990) that the connected $p$-compact groups have ``maximal tori'' and ``Weyl groups'', the latter being generated by $p$-adic
pseudo-reflection groups. The list of groups generated by $p$\yh-adic pseudo-reflections was established by Clarke and Ewing in the 1970s.  What was shown by the four authors listed in the title is that there is a bijective correspondence between these pseudo-reflection groups (up to isomorphism) and connected $p$\yh-compact groups (up to homotopy), at least when $p$ is odd.  When $p=2$, the correspondence which they construct
is more complicated.

Groupes de Lie compacts, espaces classifiants, espaces de lacets, $p$-complétion, groupes de pseudo-réflexions
Compact Lie groups, classifying spaces, loop spaces, $p$-completion, pseudo-reflection groups
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