Nous développons un calcul pseudodifférentiel pour les opérateurs différentiels associés aux métriques quasi-fibrées au bord (métriques QFB), une classe de métriques comprenant les métriques quasi-asymptotiquement coniques (métriques QAC) de Degeratu-Mazzeo et les métriques quasi-asymptotiquement localement euclidiennes (métriques QALE) de Joyce. En introduisant divers symboles principaux, nous introduisons la notion d'opérateurs QFB entièrement elliptiques et montrons que ceux-ci sont de Fredholm lorsqu'ils agissent sur des espaces de Sobolev QFB. Pour les métriques QAC, nous développons également un calcul pseudo-différentiel pour la classe des métriques Qb, qui leur est liée de manière conforme. Nous utilisons ces calculs pour construire une paramétrix de l'opérateur de Hodge-de Rham de certaines métriques QFB, ce qui nous permet de montrer qu'il est de Fredholm sur des espaces de Sobolev appropriés et que l'espace des formes harmoniques L2 est de dimension finie. Notre paramétrix est obtenue en inversant certains opérateurs modèles à l'infini, inversions que nous réalisons en partie grâce à une compréhension fine de la limite à faible énergie de la résolvante de l'opérateur de Hodge-de Rham. Notre paramétrix implique également que les formes harmoniques L2 décroissent plus rapidement à l'infini qu'une forme L2 arbitraire, cette décroissance supplémentaire étant quantifiée en termes d'une petite puissance négative de la fonction de distance. Cette décroissance des formes harmoniques L2 est utilisée dans un article complémentaire pour étudier la cohomologie L2 de certaines métriques QFB.